Rozwiązywanie zadań tekstowych z wykorzystaniem równań i procentów

W tym materiale nauczysz się wykorzystywać równania i procenty do rozwiązywania zadań tekstowych. Dowiesz się też, w jaki sposób można te umiejętności stosować w kontekście praktycznym.

Przykład 1

Równania wykorzystujemy do rozwiązywania zadań związanych ze stężeniem procentowym roztworów.

R1Sfzjiz6iDZt1
Animacja przedstawia w jaki sposób rozwiązać zadanie związane ze stężeniem procentowym roztworów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1Sfzjiz6iDZt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób rozwiązać zadanie związane ze stężeniem procentowym roztworów.

Przykład 2

Obliczmy, ile soli należy wsypać do 270 dag wody, aby otrzymać roztwór dwudziestoprocentowy.

Korzystając z wcześniejszych przykładów, możemy posłużyć się interpretacją graficzną zadania.

RCC7kImcHyKBP1
Rysunek przedstawia trzy probówki. Pierwsza probówka zawiera 270 dekagramów wody. Druga probówka zawiera x dekagramów soli. Zawartość tych probówek zmieszano w trzeciej probówce i otrzymano 270 dekagramów plus x dekagramów solanki dwudziestoprocentowej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podobnie jak w poprzednich przykładach, do rozwiązania zadania posłuży nam równanie zapisane nad probówkami:

x=20%270+x
x=0,2270+x
x=0,2·270+0,2x
x=54+0,2x
x-0,2x=54
0,8x=54|:0,8
x=67,5.

Do 270 dag wody należy dosypać 67,5 dag soli, aby otrzymać roztwór dwudziestoprocentowy.

Przykład 3

Obliczymy stężenie procentowe solanki powstałej po dolaniu 150 g wody do 250 g solanki dziesięcioprocentowej.

Korzystając z wcześniejszych przykładów, możemy posłużyć się interpretacją graficzną zadania

RT9pkRXre6LPc1
Rysunek przedstawia trzy probówki. Pierwsza probówka zawiera 250 gramów solanki dziesięcioprocentowej (10% razy 250 g). Druga probówka zawiera 150 gramów wody. Zawartość tych probówek zmieszano w trzeciej probówce. Otrzymano x razy 400 gramów solanki o nieznanym stężeniu procentowym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podobnie jak w poprzednich przykładach, do rozwiązania zadania posłuży nam równanie.

10%·250=x·400
0,1·250=400x
25=400x|:400
x=0,0625=6,25%.

Stężenie procentowe solanki powstałej po dolaniu 150 g wody do 250 g solanki dziesięcioprocentowej wynosi 6,25%.

11
Ćwiczenie 1
RERql0Sq0k7Ye
W jakich ilościach należy połączyć wodę i sól, aby powstał roztwór o danym stężeniu?
Przeciągnij odpowiednie liczby.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rhyi21UIfxaZn
W jakich ilościach należy połączyć wodę i sól, aby powstał roztwór o danym stężeniu? Do 250g wody jeżeli dodamy 1. 62,5, 2. 1350, 3. 30, 4. 342 g soli, to otrzymamy roztwór dwudziestoprocentowy.Do 150g soli jeżeli dodamy 1. 62,5, 2. 1350, 3. 30, 4. 342 g wody, to otrzymamy roztwór dziesięcioprocentowy.Do 170g wody jeżeli dodamy 1. 62,5, 2. 1350, 3. 30, 4. 342 g soli, to otrzymamy roztwór piętnastoprocentowy.Do 18g soli jeżeli dodamy 1. 62,5, 2. 1350, 3. 30, 4. 342 g wody, to otrzymamy roztwór pięcioprocentowy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 2
R1LIsmJlQBzSK
Z zestawień statystycznych dotyczących przetwarzania odpadów komunalnych w Unii Europejskiej w roku 2011 wynika, że ilość wytworzonych odpadów komunalnych we Francji jest o 22,2 tys. ton większa niż w Polsce. Recyklingowi poddawane jest około 9% odpadów w Polsce i około 19% odpadów we Francji. Ile tysięcy ton odpadów komunalnych wytworzono w Polsce w 2011 roku, jeżeli ilość odpadów poddanych recyklingowi w Polsce była o 5,428 tys ton mniejsza niż we Francji? Około 1. 16,1, 2. 12,1, 3. 18,1, 4. 10,1, 5. 14,1 tysiąca ton.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 3
RHZzgvDuUf1eF
Podczas wakacji Hania wybrała się na zagraniczne kolonie organizowane przez biuro podróży. W grupie, w której znalazła się Hania, 15-latki stanowiły 60% grupy, 14 - latek było o 35 punktów procentowych mniej niż 15 - latek i były jeszcze trzy 16 - latki. Ile osób liczyła grupa, w której znalazła się Hania? Grupa liczyła 1. 18, 2. 25, 3. 22, 4. 20, 5. 15 osób.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 4
Rx65TGDE1H8WK
W sekcji łyżwiarstwa figurowego klubu sportowego "Śnieżynka" jest 20 dziewcząt i 6 chłopców. Ile dziewcząt musi zapisać się do klubu, aby stanowiły one 85% wszystkich członków klubu? Ilu chłopców musi zapisać się do klubu, aby stanowili oni 37,5% wszystkich członków klubu? Musi zapisać się 1. 6, 2. 4, 3. 16, 4. 12, 5. 14, 6. 8 dziewczynek oraz 1. 6, 2. 4, 3. 16, 4. 12, 5. 14, 6. 8 chłopców.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1YR0rBXSA5zk2
Ćwiczenie 5
Klub wędkarski " Pstrąg" liczył 60 członków i byli to sami mężczyźni. Po przyjęciu kilkunastu kobiet okazało się, że mężczyźni stanowią 80% wszystkich członków klubu. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Możliwe odpowiedzi: 1. Liczba wszystkich członków klubu wynosi teraz 72 osoby., 2. Przyjęto 15 kobiet., 3. Wszystkich wędkarzy jest teraz w klubie 75 . , 4. Liczba kobiet przyjętych do klubu wynosi 12 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6
Rmvy3AlXJgxgu
Prostokąt ma obwód równy 20 cm. Gdyby krótszy bok tego prostokąta wydłużono o 10%, a dłuższy skrócono o 10%, to otrzymany prostokąt byłby kwadratem. Jakie są długości boków prostokąta? Dłuższy bok ma 1. } cm, a krótszy bok ma { cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7
RN5vKlBfau6W3
W pudełku były cukierki owocowe, czekoladowe i krówki. Krówki stanowiły 10% wszystkich cukierków, a cukierki czekoladowe 60% pozostałych. Cukierków owocowych było 18. Ile było wszystkich cukierków? Ile cukierków czekoladowych znajdowało się w pudełku? Wszystkich cukierków było 1. 48, 2. 52, 3. 25, 4. 50, 5. 22, 6. 27, a czekoladowych cukierków było 1. 48, 2. 52, 3. 25, 4. 50, 5. 22, 6. 27.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 8
RULFctGj7RtM8
Kamil i Krzysztof, którzy kolekcjonują monety, mieli po tyle samo monet. W ciągu roku kolekcja Kamila wzrosła o 20%, a kolekcja Krzysztofa o 25 monet i wtedy okazało się, że Kamil ma o 10% monet więcej niż Krzysztof. Po ile monet mieli chłopcy przed powiększeniem kolekcji? Chłopcy mieli po 1. 255, 2. 245, 3. 265, 4. 275 monet.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 9
RtN9fvgbGY8JT
W klasie Ia liczba chłopców stanowi 60% liczby wszystkich dziewcząt. Klasa Ia liczy 32 uczniów. Ile dziewcząt i ilu chłopców jest w tej klasie? Ta klasa liczy Tu uzupełnij dziewcząt i Tu uzupełnij chłopców.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 10
RwzJk7eTHmc5B
W klasie Ia liczba chłopców stanowi 60% liczby wszystkich dziewcząt. Gdyby do klasy przyjęto jeszcze 6 chłopców, to liczba dziewcząt i chłopców w klasie byłyby jednakowa. Ile dziewcząt i ilu chłopców jest w tej klasie? Ta klasa liczy 1. 11, 2. 15, 3. 9, 4. 7, 5. 17, 6. 13 dziewcząt i 1. 11, 2. 15, 3. 9, 4. 7, 5. 17, 6. 13 chłopców.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 11
R1H013GsX8FG0
W klasie Ia liczba chłopców stanowi 60% liczby wszystkich dziewcząt. Liczba dziewcząt uczących się języka angielskiego jest o 2 mniejsza od liczby chłopców w tej klasie. Ilu uczniów liczy klasa, jeżeli języka angielskiego uczy się 10 dziewczynek? Klasa liczy Tu uzupełnij uczniów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 12
RBLqCwKTfwQ1s
W pudełku znajdują się czekoladki z gorzkiej i mlecznej czekolady, przy czym mlecznych czekoladek powinno być 95%. Ile mlecznych czekoladek należy dołożyć do pudełka, aby ich liczba stanowiła 95% wszystkich jeżeli wśród 50 czekoladek znajdujących się w pudełku 6% stanowią czekoladki z gorzkiej czekolady? Należy dołożyć 1. 15, 2. 5, 3. 10, 4. 20 czekoladek
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 13
RP9U7nApQRnWv
Galeria "Art" posiada 1000 obrazów, w tym 900 obrazów autorstwa polskich malarzy. Wśród obrazów będących w posiadaniu galerii "Modern" jest 75% obrazów namalowanych przez polskich malarzy. Gdyby połączono zbiory obu galerii, to obrazy polskich malarzy stanowiłyby 80% wszystkich obrazów. 1. Ile obrazów posiada galeria "Modern"?
Galeria "Modern" posiada 1. 2000, 2. 2400, 3. 2800, 4. 2600, 5. 2400, 6. 2200 obrazów.

2. Ile obrazów polskich malarzy znajdowałoby się w połączonych zbiorach obu galerii?
Jest 1. 2000, 2. 2400, 3. 2800, 4. 2600, 5. 2400, 6. 2200 obrazów polskich malarzy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 14
R1e5JNq6RucOz
Wśród klientów biura podróży, którzy wykupili wyjazd na wczasy rodzinne, 40% wybrało Egipt, o 4 osoby mniej wybrały wyjazd do Turcji. Nad Morze Śródziemne zdecydowały się wyjechać 24 osoby. Ilu było wszystkich klientów biura, którzy zdecydowali się na ofertę wakacyjną? Wszystkich klientów biura było Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 15
RiCy5rFmmOINK
Maciek i Filip mieli po tyle samo cukierków, którymi postanowili podzielić się z Tolą. Maciek oddał Toli 40% wszystkich swoich cukierków, a Filip podarował 15 cukierków. Wtedy okazało się, że Maćkowi pozostało o 20% cukierków więcej niż Filipowi. 1. Po ile cukierków mieli Maciek i Filip na początku?
Na początku mieli po 1. 30, 2. 34, 3. 25, 4. 29, 5. 32, 6. 27 cukierków.

2. Ile cukierków dostała Tola?
Tola dostała 1. 30, 2. 34, 3. 25, 4. 29, 5. 32, 6. 27 cukierków.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 16
Rf9zbtLGr3Whz
Jakie ilości solanek o stężeniach 8% i 12% należy zmieszać, aby otrzymać 15 kg solanki o stężeniu 10%? Należy zmieszać Tu uzupełnij kg każdej solanki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 17
R7AjzKnKpsSXn
Naszyjniki stanowią 20% kolekcji jubilerskiej, a  40% z nich to naszyjniki z brylantami. Oprócz naszyjników kolekcja zawiera pierścionki, których jest o 144 więcej niż naszyjników z brylantami. Ile naszyjników z brylantami liczy ta kolekcja? Ta kolekcja liczy 1. 18, 2. 14, 3. 12, 4. 16 naszyjników z brylantami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.