Rozwiązywanie zadań tekstowych za pomocą równań
Rozwiązywanie zadań tekstowych za pomocą równań
1. Cele lekcji
a) Wiadomości
Uczeń:
zna pojecie: równanie, równanie równoważne danemu, rozwiązanie równania,
b) Umiejętności
Uczeń:
potrafi rozwiązać równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą,
potrafi sprawdzić czy dana liczba jest rozwiązaniem równania,
zapisać treść prostego zadania w postaci równania,
rozumie ciągłość rozwoju kultury i trwałości ludzkich osiągnięć,
potrafi przetwarzać informacje,
dostrzega w kulturze antycznej korzeni tożsamości kulturowej Polski i Europy.
2. Metoda i forma pracy
Rozmowa kontrolowana, praca w grupach.
3. Środki dydaktyczne
Materiały historyczne,
4. Przebieg lekcji
a) Faza przygotowawcza
Sprawdzenie obecności.
Wysłuchanie materiałów historycznych przygotowanych przez grupy na podane tematy z pracy domowej (materiały pomocnicze dla nauczyciela załącznik 1).
Krótka dyskusja na temat wysłuchanych referatów.
Zapisanie tematu lekcji.
b) Faza realizacyjna
Nauczyciel przedstawia zadania dla grup i prosi o ich rozwiązanie (załącznik 2).
Praca w grupach.
Uczniowie przedstawiają wyniki swojej pracy, jednocześnie charakteryzują – grupa 1 – muzy opiekunki sztuki, grupa 2 –znaczenie mitologii w kulturze Polski, grupa 3 – układ dziesiątkowy i przykłady innych układów, w szczególności dwójkowego, grupa 4 – związek literatury Grecji i Rzymu z matematyką.
c) Faza podsumowująca
Dokonanie samooceny swojej pracy przez grupy.
Analiza wyników pracy i wystawienie ocen.
5. Bibliografia
„Śladami Pitagorasa”, Lilavati, Ścieżki edukacyjne i integracja międzyprzedmiotowa na lekcjach matematyki w gimnazjum – Biuletyn nr 7 2001, Czwarty stopień wtajemniczenia J. Górowski A. Łomnicki
6. Załączniki
a)Karta pracy ucznia
załącznik 1
PROPORCJONALNOŚĆ
Około 10 000 lat temu pomiędzy Eufratem i Tygrysem powstają pierwsze miasta i podstawy rolnictwa. To właśnie tam mieszkali Babilończycy. Przez klika tysięcy lat na tym obszarze, a później także
w Egipcie, rozwijały się najbardziej zaawansowane cywilizacje. To tu powstały prawdopodobnie najdawniejsze rodzaje pisma, alfabet, kalendarz, pieniądze. Tu także narodził się zwyczaj pożyczania na procent. Handel, podróże i towarzysząca im wymiana myśli upowszechniły te wynalazki w całym basenie Morza Śródziemnego. Matematyka ( a także astronomia ) narodziły się w Babilonie i Egipcie, ale prawdziwego przełomu w rozwoju tych nauk dokonali Grecy. Połączyli on luźno związane ze sobą fakty w prawdziwą naukę.
W latach 750‑550 p.n.e. Grecy skolonizowali znaczną część wybrzeża Morza Śródziemnego, dlatego tylko nieliczni spośród greckich uczonych żyli w Atenach czy innych miastach dzisiejszej Grecji. Większość mieszkała w koloniach. Tales działał w Azji Mniejszej, Pitagoras w Krotonie na południu dzisiejszych Włoch, Archimedes w Syrakuzach na Sycylii, a Euklides w Aleksandrii. Aleksandria, miasto założone w roku 332 p.n.e. przez Aleksandra Wielkiego, przez około200 lat była najważniejszym ośrodkiem naukowym świata. Aleksander założył tam Museion, rodzaj akademii nauk. Na potrzeby tej instytucji stworzone zostały między innymi: najbogatsze biblioteki starożytności
(około 500 000 papirusów), ogród zoologiczny, ogród botaniczny, pracownia astronomiczna
i obserwatorium astronomiczne.
Grecka nauka została przyjęta przez Rzymian i stała się częścią cywilizacji panującej na obszarze dzisiejszej Europy Zachodniej i Południowej. Wraz z upadkiem Cesarstwa Rzymskiego w V wieku większa część tej nauki popadła w Europie w zapomnienie. Naukę starożytną przejęli i rozwinęli Arabowie, od których – począwszy od XII wieku - na nowo uczyli się Europejczycy p.n.e.
LICZBY
Pieniądz, zegar i kalendarz, miary i wagi – wszystko oparte jest na liczbach. Żyjemy więc w świecie liczb. Oto kilka momentów historii ludzkości, pokazujących jak do tego doszło. Nacięcia na kościach, pochodzące sprzed około 70 000 – 20 000 lat, uważane są przez naukowców za najstarsze zapisane rachunki. Więcej wiemy dopiero o matematyce Egiptu i Babilonii, dwóch wielkich kultur starożytności.
3000 – 2000 p.n.e. W związku z wylewem Nilu i budową piramid Egipcjanie rozwijają bardzo zaawansowany system miar i wag.
2500 – 2000 p.n.e. Babilończycy wprowadzają do rachuby czasu liczbę 60; po nich odziedziczyliśmy 60 minut w godzinie i 60 sekund w minucie.
VII w.p.n.e. Fenicjanie wprowadzają pierwsze pieniądze
VI w.p.n.e. – III w.p.n.e. Grecy tworzą z matematyki systematyczną naukę
II w.p.n.e. O liczbach ujemnych wspomina traktat chiński
n.e.
V w.n.e. Matematycy hinduscy używają liczb dodatnich i ujemnych dla określenia stanu majątkowego i rozliczeń handlowych
VII w. W Indiach w księgach handlowych pojawiają się liczby ujemne
VII – VIII w. Powstanie cyfr arabskich
XIII – XVII w. Wynalezienie i udoskonalenie zegara mechanicznego
XIII – XVII w. Cyfry arabskie rozpowszechniają się w Europie
XIV - XV w. Włoscy księgowi wprowadzają stosowane do dziś metody rachunku pisemnego
XVI w. Matematycy włoscy zaczynają wykorzystywać cyfry ujemne
1585 Ułamki dziesiętne
1799 W e Francji wprowadzają system metryczny
koniec XVIII w. Skala temperatur według Celsjusza – w Europie upowszechniają się liczby ujemne
1945 Pierwszy komputer
1971 Kalkulator kieszonkowy
1983 komputer osobisty
RÓWNANIA
Najstarszy zachowany podręcznik matematyki – egipski papirus Rhinda sprzed 3500 lat - w znacznej części jest poświęcony rozwiązywaniu równań. Widnieje tam następujące zdanie: ,,Znajdź taką wielkość, która powiększona o jej siódmą część da liczbę 19”. Pomijając proste rachunki, równania stanowią zatem chyba najstarszą część szkolnej wiedzy.
ALGEBRA
Język jest najważniejszym narzędziem człowieka. Przypuszcza się, że człowiek nauczył się mówić około 100 000 – 20 000 lat temu, w tym samym czasie, gdy stworzył pierwsze narzędzie materialne. Język pozwala porozumiewać się i myśleć. Pismo jest wynalazkiem dużo późniejszym. Najstarsze zachowane fragmenty pisma pochodzą sprzed 6000 lat. Są to gliniane tabliczki z zapiskami dotyczącymi transakcji handlowych i podatków.
Najstarsze pismo to obrazkowe. W piśmie obrazkowym potrafimy się domyśleć się znaczenia wielu symboli, nawet gdy tego pisma nie znamy. Przykładem pisma obrazkowego są też współczesne piktogramy.
Tradycyjne pismo obrazkowe w wyniku kolejnych uproszczeń przekształca się. W ten sposób zmieniały się egipskie hieroglify. Za pomocą takiego pisma trudno jest przekazać bardziej złożone myśli. Drogą wyjścia jest zwiększenie liczby znaków – tak rozwinęło się pismo chińskie, złożone
z około 40 000 znaków, z czego 2000 koniecznych jest, by posiąść podstawową umiejętność czytania.
Innym rozwiązaniem jest alfabet – niewielka liczba znaków, z których tworzy się słowa. Najstarszy znany alfabet, pochodzący sprzed 3700 lat, znaleziono na terenie Syrii i Palestyny. Każda nauka ma swój własny język. Językiem matematyki jest algebra.
Równania rozwiązywano już w Egipcie i Babilonii. Zapis symboliczny zaczął kształtować się
w XV – XVI wieku. Używaną dziś symbolikę wprowadził w roku 1593 Francois Viete. Przez około 4000 lat matematyka rozwijała się bez zapisu algebraicznego, posługując się zwykłym językiem.
Ale świata współczesnej nauki nie można sobie wyobrazić bez algebry.
Dalszy rozwój języka symbolicznego umożliwił powstanie języków programowania. Pierwszym takim zaawansowanym językiem był Algol 60, opracowany w latach 1958 – 1963.
załącznik 2
GRUPA 1
Spójrz na rysunek. Gdy szalki wagi znajdą się w równowadze, przedmioty (cegły i odważniki) na obu szalkach ważą tyle samo. Ile waży jedna cegła?
Pewnego razu Cypryda rzeka do Erosa, który wyglądał bardzo smutnie: - Dlaczego jesteś taki zmartwiony? Co Ci jest synu? Eros odrzekł: Schodziłem z Helikonu, naładowany wyśmienitymi jabłkami. Muzy potrącając mnie zabrały mi prawie wszystko. Kleo wzięła mi piąta część tego com niósł, Euterpe – dwunastą, Talia – ósmą i Melpomena – dwunastą. Terpsychora zabrała czwartą część, a Erato wzięła siódmą część dla siebie. Polihymnia porwała 30 jabłek, Urania wzięła 120, a Kaliope, upadając pod ciężarem, uciekła z 300 jabłkami. I oto ręce moje ulżone, gdyż boginie pozostawiły mi tylko 50 jabłek. Sprawdź, że Eros miał 4840 jabłek.
9 muz występujących w zadaniu to opiekunki sztuk pięknych i nauki.
GRUPA 2
Cegła waży kilogram i pół cegły. Ile waży cegła?
Napis na nagrobku Diofantosa z Aleksandrii (II polowa III wieku n. e.) - Pod tym nagrobkiem spoczywa Difant – a dzięki przedziwnej sztuce zmarłego wiek jego zdradzić Ci ten głaz: Chłopcem przez szóstą część życia pozostać mu Bóg pozwolił, lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część życia mu minęła, a znów gdy przebył część siódmą, młodą żonkę w domu dobry wprowadził mu Bóg, która, gdy pięć lat minęło, małego mu powiła synka. Ale okrutny los chciał, że kiedy syn ledwie wiek ojca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades. Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb jeszcze przez 4 lata pociechy, aż rozstał się
z życiem.
Taki nagrobny napis nazywa się epitafium. Zapisz to epitafium – zagadkę w postaci równania.
Uprość je. Sprawdź, że Diofantosżył 84 lata.
GRUPA 3
Zapytał raz tyran Syrakuz greckiego mędrca: - Zacny Pitagorasie, Ty muz oblubieńcze, ilu też uczniów muzom w tym domu się chowa? – Powiem Ci Polikratesie: połowa wzniosłą matematyką ćwiczy umysł młody, czwarta część pragnie wnikać w tajniki przyrody, część szósta uczy się milczeć. Dodaj trzy kobiety. Tyle ja uczniów wiodę do laurowej mety.
Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 14, Jeżeli przestawimy cyfry, otrzymamy liczbę o 36 mniejsza od pierwotnej. Jaka to liczba?
GRUPA 4
W starej egipskiej księdze Ahmesa (1700 r. p. n. e.) znajdujemy taką opowieść: „Wędrowiec policzył, że w stadzie, które pędzi pasterz na pastwisko jest 70 sztuk bydła. Zapytał on pasterza, jaką część swojego licznego stada pędzi na pastwisko? Pasterz odpowiedział, że prowadzi na pastwisko dwie trzecie stada, które powierzono jego opiece”. Jak wielkim stadem opiekował się pasterz?
Zadanie Bhaskary – matematyka hinduskiego z XII wieku. Z pęku świeżych kwiatów lotosu trzecia, piątą i szósta część ofiarowano bodom Sziwa, Wisznu i Surya, a czwartą cześć bogini Bhawani. Pozostałe części dostał znakomity dygnitarz. Podaj mi liczbę kwiatów lotosu.
7. Czas trwania lekcji
45 minut
8. Uwagi do scenariusza
Tydzień przed lekcją nauczyciel dzieli klasę na zespoły. Każda grupa ma za zadanie odszukać materiały historyczne na temat: LICZBY, PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA, ALGEBRA, RÓWNANIA.