Rozwinięcia dziesiętne ułamka zwykłego

Rozwinięcia dziesiętne ułamka zwykłego można wyznaczać dwoma sposobami.

Przykład 1

Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków $\frac{1}{2}$ i $\frac{8}{400}$ .

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0, 5

\frac{8}{400} = \frac{8 : 4}{400 : 4} = \frac{2}{100} = 0, 02

Przykład 2

Wykonaj wskazane dzielenia, używając kalkulatora.

$8 : 5$ ,

$23 : 4$ ,

$8 : 20$ ,

$9 : 300$ ,

$6 : 125$ .

Odpowiedź:

$1, 6$ ; $5, 75$ ; $0, 4$ ; $0, 03$ ; $0, 048$ .

\frac{8}{5} = 1, 6

Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku $\frac{8}{5}$ , jest liczba $5$ .

\frac{23}{4} = 5, 75

Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku $\frac{23}{4}$ , jest liczba $2$ .

\frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0, 4

Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku $\frac{2}{5}$ , jest liczba $5$ .

\frac{9}{300} = \frac{3}{100} = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = 0, 03

Jedynymi dzielnikami mianownika, będącymi liczbami pierwszymi w ułamku $\frac{3}{100}$ , są liczby $2$ i $5$ .

\frac{6}{125} = \frac{6}{5 \cdot 5 \cdot 5} = 0, 048

Jedynym dzielnikiem mianownika, będącym liczbą pierwszą w ułamku $\frac{6}{125}$ , jest liczba $5$ .

Zapamiętaj!

Jeżeli jedynymi dzielnikami mianownika ułamka nieskracalnego są liczby $2$ lub $5$ , to ten ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone.

Rozważmy teraz takie ułamki, w których w rozkładzie na czynniki pierwsze mianownika występują jeszcze inne liczby niż $2$ i $5$ .

Przykład 3

RTs974qLBukzI1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Jeżeli mianownik ułamka zwykłego nieskracalnego jest podzielny przez liczbę pierwszą różną od $2$ i $5$ to ten ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
Powtarzający się układ cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym ułamka nazywamy jego okresem. Aby uprościć zapis takiego rozwinięcia, okres zapisujemy w nawiasie.

Rozwinięcie ułamka zwykłego

Własność: Rozwinięcie ułamka zwykłego

Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.

Ciekawostka

Istnieją liczby, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone nieokresowe.

Na przykład:

$2, 30300300030000300000 \dots$ ,
$0, 123456789101112131415 \dots$

Powyższych liczb nie można zapisać w postaci ułamków zwykłych.

Ćwiczenie 1

Liczby $0, 123456789101112131415 \dots$ nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego. Podaj inny przykład liczby, której nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

RF6fiZChNOv4p

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$0, 10100100010000100000 \dots$

Ćwiczenie 2

Połącz ułamki z ich rozwinięciem dziesiętnym.

RyJ9DV6wR6fm5

Połącz ułamki z ich rozwinięciem dziesiętnym.

\frac{3}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 875

, 2.

0, 6

, 3.

3, 15

, 4.

0, 75

, 5.

1, 9375

, 6.

4, 8

4 \frac{4}{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 875

, 2.

0, 6

, 3.

3, 15

, 4.

0, 75

, 5.

1, 9375

, 6.

4, 8

\frac{15}{8}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 875

, 2.

0, 6

, 3.

3, 15

, 4.

0, 75

, 5.

1, 9375

, 6.

4, 8

3 \frac{3}{20}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 875

, 2.

0, 6

, 3.

3, 15

, 4.

0, 75

, 5.

1, 9375

, 6.

4, 8

\frac{31}{16}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 875

, 2.

0, 6

, 3.

3, 15

, 4.

0, 75

, 5.

1, 9375

, 6.

4, 8

\frac{27}{45}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 875

, 2.

0, 6

, 3.

3, 15

, 4.

0, 75

, 5.

1, 9375

, 6.

4, 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Mloe7P7q9yM

\frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3, 58 (3)

, 2.

2, (54)

, 3.

0, (3)

, 4.

1, 8 (3)

, 5.

0, (285714)

, 6.

0, (4)

, 7.

5, (5)

1 \frac{5}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3, 58 (3)

, 2.

2, (54)

, 3.

0, (3)

, 4.

1, 8 (3)

, 5.

0, (285714)

, 6.

0, (4)

, 7.

5, (5)

\frac{2}{7}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3, 58 (3)

, 2.

2, (54)

, 3.

0, (3)

, 4.

1, 8 (3)

, 5.

0, (285714)

, 6.

0, (4)

, 7.

5, (5)

\frac{4}{9}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3, 58 (3)

, 2.

2, (54)

, 3.

0, (3)

, 4.

1, 8 (3)

, 5.

0, (285714)

, 6.

0, (4)

, 7.

5, (5)

5 \frac{5}{9}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3, 58 (3)

, 2.

2, (54)

, 3.

0, (3)

, 4.

1, 8 (3)

, 5.

0, (285714)

, 6.

0, (4)

, 7.

5, (5)

2 \frac{6}{11}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3, 58 (3)

, 2.

2, (54)

, 3.

0, (3)

, 4.

1, 8 (3)

, 5.

0, (285714)

, 6.

0, (4)

, 7.

5, (5)

3 \frac{7}{12}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3, 58 (3)

, 2.

2, (54)

, 3.

0, (3)

, 4.

1, 8 (3)

, 5.

0, (285714)

, 6.

0, (4)

, 7.

5, (5)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11mVFGJVK9fE1

Ćwiczenie 3

Dostępne opcje do wyboru:

>

<

>

>

>

<

<

>

>

<

<

<

<

. Polecenie: Uzupełnij nierówności, przeciągając w luki odpowiednie znaki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

1, (36)

luka do uzupełnienia

1, 36

2, (45)

luka do uzupełnienia

2, 4 (5)

3, (151)

luka do uzupełnienia

3, (15)

0, 87

luka do uzupełnienia

0, (86)

\frac{1}{3}

luka do uzupełnienia

0, 333

0,5555

luka do uzupełnienia

\frac{5}{9}

6,55555

luka do uzupełnienia

6 \frac{2}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0, licencja: CC BY 3.0.

R1QBGHFmRUyuM21

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfJ4KbK5hX9cO21

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R18UG394opRPd21

Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Zaznacz zdania prawdziwe.

Ułamek $\frac{69}{50}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
Ułamek $\frac{323}{200}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
Ułamek $\frac{8}{12}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
Ułamek $\frac{121}{22}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RknJeP0zRDQQy21

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Zaznacz zdania prawdziwe.

Ułamek $\frac{7}{16}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.
Ułamek $\frac{8}{13}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe.
Ułamek $\frac{22}{34}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
Ułamek $\frac{16}{38}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RH2wOIDd0zFU821

Ćwiczenie 8

Dwudziesta cyfra po przecinku liczby $4,32 (7451)$ jest równa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJin9e970HUBE21

Ćwiczenie 9

Która z podanych liczb jest największa?

$4, (0123)$
$4,0 (123)$
$4,01 (23)$
$4,012 (30)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGqieRcrZPA8v21

Ćwiczenie 10

Rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{41}{25}$ jest równe

$0,82$
$1,61$
$1,64$
$16,4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

W miejsce kropek wstaw liczbę, która spełnia podany warunek

$0, 3 < \dots < \frac{1}{3}$ ,
$0, 33 < \dots < \frac{1}{3}$ ,
$0, (2) < \dots < \frac{1}{3}$ ,
$3, (7) < \dots < 3, (8)$ ,
$8, 03 (1) < \dots < 8, 0 (31)$ ,
$1, (53) < \dots < 1, 53 (54)$ .

R1DDw654g5JT5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$0, 33$
$0, 333$
$0, 23$
$3, 78$
$8, 0312$
$1, 5354$

Ćwiczenie 12

Wstaw w miejsce kropek taką liczbę naturalną, aby spełniony był podany warunek:

$3, (34) < 3, \dots$ ,
$\frac{\dots}{6} > 0, (3)$ ,
$\frac{8}{\dots} < 0, 73$ ,
$2, (97) < 2, 9 \dots$

RRYnEzm5FZ5wN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$35$
$3$
$16$
$8$

Ćwiczenie 13

Korzystając z kalkulatora, wyznacz rozwinięcia dziesiętne podanych ułamków zwykłych.

$\frac{1}{9}$ , $\frac{2}{9}$ , $\frac{4}{9}$ , $\frac{5}{9}$ , $\frac{8}{9}$ .
$\frac{1}{99}$ , $\frac{5}{99}$ , $\frac{17}{99}$ , $\frac{20}{99}$ , $\frac{32}{99}$ , $\frac{40}{99}$ , $\frac{55}{99}$ , $\frac{61}{99}$ , $\frac{84}{99}$ , $\frac{97}{99}$ .
$\frac{1}{999}$ , $\frac{11}{999}$ , $\frac{111}{999}$ , $\frac{243}{999}$ , $\frac{454}{999}$ , $\frac{541}{999}$ , $\frac{602}{999}$ , $\frac{700}{999}$ , $\frac{777}{999}$ , $\frac{997}{999}$ .
Czy zauważasz zależność? Jak sądzisz, jakie rozwinięcia dziesiętne będą miały następujące liczby $\frac{111}{9999}$ , $\frac{5454}{9999}$ , $\frac{67676}{99999}$ ?

Rq8UvgcoEwc8y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$0, (1)$ ; $0, (2)$ ; $0, (4)$ ; $0, (5)$ ; $0, (8)$ .
$0, (01)$ ; $0, (05)$ ; $0, (17)$ ; $0, (20)$ ; $0, (32)$ ; $0, (40)$ ; $0, (55)$ ; $0, (61)$ ; $0, (84)$ ; $0, (97)$ .
$0, (001)$ ; $0, (011)$ ; $0, (111)$ ; $0, (243)$ ; $0, (454)$ ; $0, (541)$ ; $0, (602)$ ; $0, (700)$ ; $0, (777)$ ; $0, (997)$ .
$\frac{111}{9999} = 0, (0111)$ ; $\frac{5454}{9999} = 0, (5454)$ ; $\frac{67676}{99999} = 0, (67676)$ .

R1PNifqhzKXhM

Ćwiczenie 14

Korzystając z powyższej zależności, połącz ułamki dziesiętne z odpowiadającymi im ułamkami zwykłymi.

0, (2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{787890}{999999}

, 2.

\frac{25}{99}

, 3.

\frac{687}{999}

, 4.

\frac{500}{999}

, 5.

\frac{2}{9}

, 6.

\frac{67}{99}

, 7.

\frac{8}{99}

, 8.

\frac{243}{999}

, 9.

\frac{7}{9}

, 10.

\frac{2034}{9999}

0, (7)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{787890}{999999}

, 2.

\frac{25}{99}

, 3.

\frac{687}{999}

, 4.

\frac{500}{999}

, 5.

\frac{2}{9}

, 6.

\frac{67}{99}

, 7.

\frac{8}{99}

, 8.

\frac{243}{999}

, 9.

\frac{7}{9}

, 10.

\frac{2034}{9999}

0, (08)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{787890}{999999}

, 2.

\frac{25}{99}

, 3.

\frac{687}{999}

, 4.

\frac{500}{999}

, 5.

\frac{2}{9}

, 6.

\frac{67}{99}

, 7.

\frac{8}{99}

, 8.

\frac{243}{999}

, 9.

\frac{7}{9}

, 10.

\frac{2034}{9999}

0, (25)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{787890}{999999}

, 2.

\frac{25}{99}

, 3.

\frac{687}{999}

, 4.

\frac{500}{999}

, 5.

\frac{2}{9}

, 6.

\frac{67}{99}

, 7.

\frac{8}{99}

, 8.

\frac{243}{999}

, 9.

\frac{7}{9}

, 10.

\frac{2034}{9999}

0, (67)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{787890}{999999}

, 2.

\frac{25}{99}

, 3.

\frac{687}{999}

, 4.

\frac{500}{999}

, 5.

\frac{2}{9}

, 6.

\frac{67}{99}

, 7.

\frac{8}{99}

, 8.

\frac{243}{999}

, 9.

\frac{7}{9}

, 10.

\frac{2034}{9999}

0, (243)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{787890}{999999}

, 2.

\frac{25}{99}

, 3.

\frac{687}{999}

, 4.

\frac{500}{999}

, 5.

\frac{2}{9}

, 6.

\frac{67}{99}

, 7.

\frac{8}{99}

, 8.

\frac{243}{999}

, 9.

\frac{7}{9}

, 10.

\frac{2034}{9999}

0, (500)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{787890}{999999}

, 2.

\frac{25}{99}

, 3.

\frac{687}{999}

, 4.

\frac{500}{999}

, 5.

\frac{2}{9}

, 6.

\frac{67}{99}

, 7.

\frac{8}{99}

, 8.

\frac{243}{999}

, 9.

\frac{7}{9}

, 10.

\frac{2034}{9999}

0, (687)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{787890}{999999}

, 2.

\frac{25}{99}

, 3.

\frac{687}{999}

, 4.

\frac{500}{999}

, 5.

\frac{2}{9}

, 6.

\frac{67}{99}

, 7.

\frac{8}{99}

, 8.

\frac{243}{999}

, 9.

\frac{7}{9}

, 10.

\frac{2034}{9999}

0, (2034)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{787890}{999999}

, 2.

\frac{25}{99}

, 3.

\frac{687}{999}

, 4.

\frac{500}{999}

, 5.

\frac{2}{9}

, 6.

\frac{67}{99}

, 7.

\frac{8}{99}

, 8.

\frac{243}{999}

, 9.

\frac{7}{9}

, 10.

\frac{2034}{9999}

0, (787890)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{787890}{999999}

, 2.

\frac{25}{99}

, 3.

\frac{687}{999}

, 4.

\frac{500}{999}

, 5.

\frac{2}{9}

, 6.

\frac{67}{99}

, 7.

\frac{8}{99}

, 8.

\frac{243}{999}

, 9.

\frac{7}{9}

, 10.

\frac{2034}{9999}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.