Scenariusz
Temat
Zastosowanie funkcji wykładniczej
Etap edukacyjny
Trzeci
Podstawa programowa
V. Funkcje. Uczeń:
14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
Czas
45 minut
Cel ogólny
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
Cele szczegółowe
1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
2. Poznanie zastosowania funkcji wykładniczej w kontekście realistycznym.
Efekty uczenia
Uczeń:
- poznaje zastosowania funkcji wykładniczej w kontekście realistycznym.
Metody kształcenia
1. Łańcuch skojarzeń.
2. Analiza sytuacyjna.
Formy pracy
1. Praca indywidualna.
2. Praca grupowa.
Etapy lekcji
Wprowadzenie do lekcji
Uczniowie pracują w grupach. Każda grupa otrzymuje od nauczyciela „łańcuch”, składający się z pustych ogniw, które wypełniają poznanymi wcześniej pojęciami , jak również skojarzeniami, łączącymi się z funkcją wykładniczą.
W czasie prezentacji „łańcuchów”, uczniowie zwracają uwagę na powtarzające się elementy w poszczególnych „łańcuchach”.
Nauczyciel weryfikuje wypowiedzi uczniów, wyjaśnia wątpliwości.
Realizacja lekcji
Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie zastosowania funkcji wykładniczej w kontekście realistycznym.
Uczniowie, pracując samodzielnie, analizują wykres przedstawiający zmiany liczby mieszkańców dwóch miast.
Polecenie 1
Miasto A liczyło na początku 25 000 mieszkańców. Każdego roku liczba mieszkańców wzrastała o 4%.
Miasto B liczyło na początku 10 000 mieszkańców. Każdego roku jego liczba wzrastała o 10%. Zaobserwuj na wykresie w jaki sposób zmieniała się liczba mieszkańców w obu miastach.
[Ilustracja 1]
Po ilu latach liczba mieszkańców w mieście B będzie większa niż w mieście A?
Jaki kształt ma krzywa przedstawiająca zmianę liczby mieszkańców? Sformułuj odpowiedni wniosek.
Wniosek:
Krzywa przedstawiająca zmianę liczby mieszkańców ma kształt krzywej wykładniczej.
Uczniowie, pracując w grupach, analizują materiał przedstawiony w aplecie.
[Geogebra aplet]
Rozwiązują zadania.
Polecenie 2
Zmieniając położenie suwaka, zaobserwuj, jak zmienia się liczebność populacji drobnoustrojów. Wypełnij tabelkę dla każdej początkowej liczby drobnoustrojów.
Początkowa liczba drobnoustrojów - 300, 500, 700, 1000.
Procent wzrostu liczby drobnoustrojów w każdej godzinie - 4%, 5%, 10%, 20%.
Przykładowa tabelka.
[Tabela 1]
Jaki kształt ma krzywa ilustrująca zmianę liczebności populacji drobnoustrojów?
Polecenie 3
Izotopy promieniotwórcze samoistnie rozpadają się. Odszukaj, w dostępnych źródłach, określenie czasu połowicznego rozpadu oraz zależności opisującej zmianę masy próbki od upływu czasu. Zanotuj odpowiedni wniosek.
Wniosek:
Czasem połowicznego rozpadu (zwanym również czasem półtrwania) nazywamy czas, po którym masa próbki izotopu promieniotwórczego zmniejszy się o połowę.
- początkowa masa próbki,
- masa próbki po upływie czasu ,
- okres połowicznego rozpadu.
Polecenie 4
Ile miligramów izotopu jodu – 131 zostanie z próbki o masie 40 mg po upływie 48 dni? Jaki procent izotopu ulegnie rozpadowi w tym czasie?
[Tabela 2]
Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki.
Nauczyciel ocenia prace uczniów, wyjaśnia wszystkie wątpliwości.
Polecenie dla chętnych:
Pewna substancja radioaktywna ma masę 100 gramów, a rozpad powoduje zmniejszenie jej masy o 25% każdego roku.
a) Napisz wzór funkcji m(t) opisującej masę tej substancji po czasie t (t- czas liczony w latach).
b) Oblicz, po jakim czasie masa substancji będzie równa 45,5 grama.
Podsumowanie lekcji
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.
Własności funkcji wykładniczej wykorzystujemy do opisywania, między innymi:
- zmian liczby mieszkańców danego miasta,
- zmian liczebności drobnoustrojów,
- zmian masy izotopów promieniotwórczych.