Temat

Pole wielokąta opisanego na okręgu

Etap edukacyjny

trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Zakres podstawowy. Uczeń:

10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.

Cele szczegółowe

1. Wyprowadzenie wzoru na pole wielokąta opisanego na okręgu.

2. Obliczanie pola trójkąta opisanego na okręgu.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wyprowadza wzór na pole wielokąta opisanego na okręgu,

- oblicza pole trójkąta opisanego na okręgu.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Dyskusja.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że w czasie zajęć wyprowadzą wzór na pole wielokąta opisanego na okręgu.

Uczniowie przypominają definicję wielokąta opisanego na okręgu. Ilustrują sposób wyznaczania środka okręgu wpisanego w trójkąt.

Polecenie
Narysuj dowolny trójkąt. Wpisz w niego okrąg. Opisz przeprowadzoną przez siebie konstrukcję.

Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta. Środek okręgu wpisanego jest równooddalony od boków trójkąta.

Definicja
Wielokątem opisanym na okręgu nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki są styczne do okręgu.

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują indywidualnie lub w parach, korzystając z komputerów. Odkrywają sposób na obliczenie pola wielokąta o danych bokach opisanego na okręgu.

Polecenie
Otwórz aplet. Obserwuj kolejne wielokąty opisane na okręgu. Wielokąty zostały podzielone na trójkąty o wspólnym wierzchołku w środku okręgu. Zauważ, że promienie okręgu są wysokościami tych trójkątów opuszczonymi ze środka okręgu do boków wielokąta. Odpowiedz na poniższe pytania:

- Na ile trójkątów podzielono wielokąt?

- Jak obliczyć pole wielokąta opisanego na okręgu o promieniu r, jeśli znamy długości jego boków?

- Jak obliczyć pole wielokąta opisanego na okręgu o promieniu r, jeśli znamy obwód tego wielokąta?

Wniosek:

Pole dowolnego wielokąta opisanego na okręgu jest równe iloczynowi połowy obwodu wielokąta i promienia tego okręgu.

Polecenie
Sprawdź prawdziwość wyprowadzonego wzoru dla pola kwadratu i pola sześciokąta foremnego.

W szczególności prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Twierdzenie - Pole trójkąta.
Pole P trójkąta o bokach długości a, b, c oraz promieniu r okręgu wpisanego w ten trójkąt wyraża się wzorem:

Gdy oznaczymy połowę obwodu trójkąta jako $P=\frac{a+b+c}{2}$, wzór przyjmuje postać $P=p·r$.

Uczniowie pracują indywidualne rozwiązując zadania wykorzystujące poznane twierdzenie. Następnie rozwiązania są dyskutowane na forum klasy.

Polecenie
Pole trójkąta jest równe 12 cmIndeks górny 2², a jego obwód – 16 cm. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Polecenie
Na okręgu o promieniu 4 cm opisano trapez o obwodzie 54 cm. Jedna z jego podstaw jest ośmiokrotnie dłuższa od drugiej. Znajdź długości obu podstaw trapezu.

Wskazówka:

Porównaj pole trapezu obliczone ze wzoru $P=\frac{a+b}{2}·h$ oraz $P=p·r$.

Polecenie dla chętnych
W trójkąt równoramienny o podstawie a i ramieniu b wpisano okrąg o promieniu r. Znajdź pole tego trójkąta.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze zależności do zapamiętania.

Pole dowolnego wielokąta opisanego na okręgu jest równe iloczynowi połowy obwodu wielokąta i promienia tego okręgu.

Pole trójkąta o bokach a, b, c opisanego na okręgu o promieniu r wyraża się wzorem: