Temat

Obliczanie pól wielokątów

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

XI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:

4) oblicza pola wielokątów metodą podziału na mniejsze wielokąty lub uzupełniania do większych wielokątów (…).

Czas

45 minut

Cel ogólny

Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii i formułowanie wniosków na ich podstawie.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Obliczanie pól dowolnych wielokątów metodą podziału na mniejsze wielokąty.

3. Dostrzeganie zależności między obwodem wielokąta a jego polem.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza pole dowolnego wielokąta, dzieląc go na wielokąty, których pola potrafi obliczyć,

- dostrzega zależność między obwodem wielokąta a jego polem.

Metody kształcenia

1. Studium przypadku.

2. Otwarte ucho.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie metodą „otwarte ucho” przypominają wzory i najważniejsze pojęcia przydatne w obliczaniu pól wielokątów.

Nauczyciel określa cel zajęć – obliczanie pola wielokąta, nie będącego ani trójkątem, ani czworokątem.

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują w małych grupach, metodą „studium przypadku”.  Każda grupa otrzymuje kartkę z narysowanym na niej wielokątem. Nauczyciel informuje, że  znajomy prosił go o pomoc w obliczeniu pola powierzchni działki, którą posiada. Działka ma kształt wielokąta takiego, jak na rysunku. Przy czym znajomy chciałby wykonać jak najmniej pomiarów. Zadaniem grup jest zaproponowanie metody obliczenia tego pola.

Po upływie ustalonego czasu, grupy prezentują swoje rozwiązania. Wspólnie ustalają sposób postępowania w przypadku obliczania pola „nieregularnych” wielokątów. Formułują wniosek.

Wniosek:

Pole dowolnego wielokąta można obliczyć dzieląc go na mniejsze wielokąty lub uzupełniając do większego wielokąta.  

Korzystając z wniosku, rozwiązują zadanie.

Polecenie 1

Z dwóch jednakowych trapezów równoramiennych zbudowano sześciokąt. Wysokości tych trapezów są równe 10 cm, a ich podstawy 25 cm i 15 cm. Oblicz pole tego sześciokąta.

Uczniowie obserwują związek między obwodem wielokąta i jego obszarem. Zapisz swój wniosek.

[Ilustracja 1]

Wniosek, jaki powinni wyciągnąć uczniowie.

Wielokąty o takich samych obwodach mogą mieć różne pola.

Uczniowie rozwiązują zadania, korzystając z zebranych informacji.

Polecenie 2

Narysuj na papierze w kratkę  3 dowolne wielokąty, nie będące prostokątami - każdy o polu równym 18. Oblicz  obwód  każdego z nich. Przyjmij  za jednostkę bok kratki.

Czy obwód wielokąta zmieni się, gdy zmieni się jego kształt, ale pole pozostanie bez zmiany?

Polecenie 3

Przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty. Pole większego z tych trójkątów jest dwa razy większe od pola mniejszego trójkąta. Ile razy pole całego trapezu jest większe od pola mniejszego trójkąta?

Polecenie dla chętnych:

Pole powierzchni prostokątnego znaczka pocztowego jest równe 12 cmIndeks górny 2². Jakie wymiary ma ten znaczek, jeżeli jego długość jest trzykrotnie większa od szerokości?

Praca w małych grupach.  

Uczniowie określają zależność między polem prostokąta, a jego obwodem. Stawiają hipotezy i sprawdzają je za pomocą komputera.

[Geogebra aplet]

Wniosek, jaki powinni wyciągnąć uczniowie

Spośród prostokątów o równych polach, najmniejszy obwód ma kwadrat.

Uczniowie indywidualnie rozwiązują zadanie, korzystając z zaobserwowanej własności.

Polecenie 4

Pan Jurek chce kupić prostokątną działkę o polu powierzchni równym 1000 mIndeks górny 2². Do ogrodzenia działki chce użyć jak najmniej siatki. Jakie wymiary powinna mieć ta działka?

Podsumowanie lekcji

Uczniowie rozwiązują zadania utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

- Wielokąty o takich samych obwodach mogą mieć różne pola.

- Spośród prostokątów o równych polach, najmniejszy obwód ma kwadrat.