Temat

Proporcjonalność odwrotna

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje. Uczeń

13. posługuje się funkcją $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zadaniach praktycznych;

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Określanie wielkości odwrotnie proporcjonalnych.

3. Szkicowanie wykresu proporcjonalności odwrotnej.

Efekty uczenia

Uczeń:

- określa wielkości odwrotnie proporcjonalne.

- szkicuje wykres proporcjonalności odwrotnej.

Metody kształcenia

1. Mapa myśli.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w grupach, przypominają wspólnie określenie i własności proporcjonalności prostej.

Zebrane informacje wykorzystują do tworzenia mapy myśli.

Po zakończonej pracy prezentują wykonane plansze.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć będzie poznanie wielkości odwrotnie proporcjonalnych.

Uczniowie pracując w grupach rozwiązują zadania wprowadzające.

Polecenie

Ile kilogramów jabłek możemy kupić za kwotę 40 zł w zależności od ceny za 1 kilogram? Uzupełnij tabelkę

[Tabela]

Co zauważasz? Sformułuj odpowiedni wniosek.

Wniosek

Im wyższa cena jabłek tym mniej kilogramów jabłek możemy kupić.

Uczniowie, pracując w grupach, analizują aplet. Zastanawiają się nad zależnością między długościami boków prostokąta o stałym polu. Formułują wniosek.

[Geogebra aplet]

Wniosek

Jeżeli zmniejszamy długość jednego boku prostokąta o stałym polu, to długość drugiego boku proporcjonalnie się zwiększa.

 Wykres zależności między długościami boków prostokąta ma kształt krzywej, której asymptotami są osie układu współrzędnych.

Nauczyciel informuje uczniów, że dwie takie wielkości, których iloczyn jest stały nazywamy wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

Definicja: Wielkości odwrotnie proporcjonalne.

Mówimy, że dwie dodatnie wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest stały.

Definicja: Proporcjonalność odwrotna

Funkcję opisującą zależność między dodatnimi wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi $x$ i $y$ nazywamy proporcjonalnością odwrotną, a iloczyn $x$ ∙ $y$ = $a$ nazywany jest współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi $x$ i $y$ możemy zapisać również w postaci $y=\frac{a}{x}$.

Korzystając w wiadomości poznanych w czasie zajęć, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie

Wypisz wszystkie pary liczb naturalnych spełniających zależność $x$ ∙ $y$ = 64

Polecenie

Samochód osobowy jadący ze średnią prędkością $80 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ pokonuje pewną drogę w czasie 2 godzin i 12 minut. W jakim czasie pokona tę drogę motorowerzysta jadący ze średnią prędkością $22 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$? Z jaką prędkością powinien jechać samochód, aby pokonał tę drogę w czasie 4 godzin?

Polecenie dla chętnych

Zapas żywności w stołówce szkolnej dla 80 osób wystarczy na 6 dni. Na ile dni wystarczyłoby tej żywności, jeżeli liczba osób stołujących się w szkole wzrosłaby o 40? (zakładamy, że porcje pozostaną bez zmian).

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wniosek do zapamiętania:

Dwie wielkości dodatnie $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest stały.