Temat

Podobieństwo trójkątów prostokątnych

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów.  

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Stosowanie w praktyce cech podobieństw trójkątów prostokątnych.

3. Obliczanie stosunku długości dwóch boków w trójkącie prostokątnym.

Efekty uczenia

Uczeń:

- stosuje w praktyce cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych,

- oblicza stosunek długości dwóch boków w trójkącie prostokątnym.

Metody kształcenia

1. Niedokończone zdania.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w grupie, metodą niedokończonych zdań, przypominają niektóre pojęcia i własności związane z figurami podobnymi, a w szczególności z trójkątami prostokątnymi.

Zdania, które należy dokończyć:

- Podobieństwo, to przekształcenie geometryczne płaszczyzny, które zachowuje …

- Kształt figur ... zmianie, ale figura i jej obraz mogą się … wielkościami.

- Są … cechy podobieństwa trójkątów.

- Skalą podobieństwa „k” trójkątów nazywamy …

Nauczyciel koryguje wypowiedzi uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, iż w czasie zajęć wykorzystają własności podobieństwa do określania związków między bokami i kątami w trójkątach prostokątnych.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystają z cech podobieństwa trójkątów.

Polecenie
Sprawdź, czy dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli w pierwszym trójkącie jeden z kątów ostrych ma miarę 53°, a w drugim trójkącie ma miarę 37°. Naszkicuj te trójkąty i wyznacz pary boków proporcjonalnych. Co zauważasz? Zanotuj odpowiedni wniosek.

Wniosek:

- Jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta prostokątnego  jest równy stosunkowi długości przyprostokątnych drugiego trójkąta prostokątnego, to te trójkąty są podobne.

Uczniowie pracują w grupach. Każda z grup wyznacza stosunki długości boków w trójkątach prostokątnych. Stawiają hipotezy, formułują wnioski.

Polecenie - Grupa 1
W trójkącie prostokątnym równoramiennym A przyprostokątna ma długość 4 cm.
W trójkącie prostokątnym B przeciwprostokątna ma długość 8 cm, a jedna z przyprostokątnych ma długość 4 cm.
Wyznacz stosunki długości boków w każdym z tych trójkątów. Oceń, czy na podstawie zależności między przyprostokątnymi oraz między przyprostokątną i przeciwprostokątną, można określić miary kątów ostrych w danym trójkącie. Sformułuj odpowiedni wniosek.

Polecenie - Grupa 2
W trójkącie prostokątnym równoramiennym A przyprostokątna ma długość 5 cm.
W trójkącie prostokątnym B przeciwprostokątna ma długość 10 cm, a jedna z przyprostokątnych ma długość 5 cm.
Wyznacz stosunki długości boków w każdym z tych trójkątów. Oceń, czy na podstawie zależności między przyprostokątnymi oraz między przyprostokątną i przeciwprostokątną, można określić miary kątów ostrych w danym trójkącie. Sformułuj odpowiedni wniosek.

Wnioski:

- Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty prostokątne. W tak otrzymanym trójkącie kąty ostre mają miary 60° i 30°.

- Przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta o mierze 30° jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej.

- Trójkąt prostokątny, w którym obie przyprostokątne są tej samej długości jest trójkątem prostokątnym równoramiennym.

- Kąty ostre mają miarę 45° i 45°.

Uczniowie, pracując w grupach, analizują materiał przedstawiony w aplecie.

Polecenie
Przeanalizuj materiał przedstawiony w aplecie. Wykorzystaj podobieństwo trójkątów prostokątnych do wyznaczania długości odpowiednich boków trójkąta prostokątnego.

[Geogebra aplet]

Korzystając z poznanych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie
W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości |CA| = 12 cm, |CB| = 35 cm. Trójkąt AIndeks dolny 1₁BIndeks dolny 1₁CIndeks dolny 1₁ jest podobny do trójkąta ABC, a |AIndeks dolny 1₁BIndeks dolny 1₁| = 148 cm. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta AIndeks dolny 1₁BIndeks dolny 1₁CIndeks dolny 1₁.

Polecenie
W trójkącie prostokątnym ABC, w którym kąt przy wierzchołku C jest kątem prostym, |AB|= 90 cm, |BC| = 54 cm, poprowadzono odcinek DE długości 36 cm, równoległy do boku AC taki, że E ∈ BC i D ∈ AB. Oblicz długości odcinków CE i AD.

 Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki. Nauczyciel ocenia ich pracę, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:
Zaproponuj sposób szacowania miary kąta ostrego w dowolnym trójkącie prostokątnym.

Wskazówka: wykorzystaj własności trójkątów z poprzedniego polecenia.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.

- Jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta prostokątnego jest równy stosunkowi długości przyprostokątnych drugiego trójkąta prostokątnego, to te trójkąty są podobne.