Temat

Środek odcinka

Etap edukacyjny

trzeci

Podstawa programowa

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń:

3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Znajdowanie środka odcinka zaznaczonego w układzie współrzędnych oraz równania symetralnej odcinka.

3. Wykorzystanie własności środkowej trójkąta.

Efekty uczenia

Uczeń:

- znajduje środek odcinka zaznaczonego w układzie współrzędnych oraz równanie symetralnej odcinka,

- wykorzystuje własności środkowej trójkąta.

Metody kształcenia

1. Niedokończone zdania.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie pracując w grupach, metodą niedokończonych zdań, porządkują swoje wiadomości na temat odcinka w układzie współrzędnych oraz symetrii osiowej.

Zdania, które należy dokończyć:

- Symetralną odcinka nazywamy………..

- Długość odcinka AB, gdzie $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$ obliczamy korzystając ze wzoru……

- Długość odcinka AB, gdzie $A(x_A;0),B(x_B;0)$ obliczamy korzystając ze wzoru……

- Długość odcinka AB, gdzie $A(0;y_A),B(0;y_B)$ obliczamy korzystając ze wzoru……

Nauczyciel weryfikuje odpowiedzi uczniów. Wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest wyznaczanie środka odcinka zaznaczonego w układzie współrzędnych oraz równania symetralnej odcinka.

Polecenie
Uczniowie, pracując samodzielnie, analizują materiał przedstawiony w Slideshow. Stawiają hipotezy, sprawdzają je i formułują wniosek.

[Slideshow]

Wniosek:
Środkiem odcinka AB, gdzie $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$ jest punkt $S\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Korzystając z poznanych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie
Wyznacz współrzędne środka odcinka AB, jeśli:
a) A ( 0; 7), B ( - 4; 0)

b) A ( - 6; 7), B ( - 4; 0)

c) A ( 5; 7), B ( - 4; - 7)

d) A( - 4; - 5), B ( 6; 3)

Odp.
a) S ( - 2; 3,5)

b) S ( - 5; 3,5)

c) S ( 0,5; 0)

d) S ( 1; - 1)

Polecenie
Dane są trzy wierzchołki równoległoboku ABCD, A ( - 3; - 1), B ( 3; - 2), C ( 5; 2) i punkt P ( 1; 0,5) przecięcia przekątnych. Wyznacz współrzędne wierzchołka D tego równoległoboku. Narysuj równoległobok ABCD w układzie współrzędnych.

Odp.
D ( - 1; 3)

Polecenie
Dany jest odcinek AB, gdzie A ( 6a; 4), B ( 2a; 4b) oraz punkt S ( a; b), który jest środkiem odcinka AB. Oblicz a i b.

Odp.
$a=-\frac{2}{7},b=-\frac{8}{7}$

Dyskusja
W jaki sposób można wyznaczyć równanie symetralnej odcinka AB? Uczniowie stawiają hipotezy, sprawdzają je i formułują wniosek.

Wniosek:
Aby wyznaczyć równanie symetralnej odcinka AB należy:

a) wyznaczyć współrzędne środka odcinka AB,

b) wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B,

c) wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do odcinka AB i przechodzącej przez jego środek.

Uczniowie, pracując w parach, rozwiązują zadania.

Polecenie

Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB, gdzie A ( - 2; - 10), B ( 4; 8).

Odp.
y = 3x + 4

Dyskusja
W jaki sposób wyznaczyć równanie środkowej trójkąta? Uczniowie stawiają hipotezy, sprawdzają je i formułują wniosek.

Wniosek:
Aby wyznaczyć równanie środkowej trójkąta, należy obliczyć współrzędne środka boku trójkąta, następnie wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez wyznaczony środek boku i przez wierzchołek trójkąta, który nie jest końcem tego boku.

Korzystając z nowych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie
Dany jest trójkąt ABC, gdzie A ( - 1; - 4), B ( 10; 4) i C ( 4; 6). Wyznacz równania środkowych boków tego trójkąta.

Odp.
$y=-12x+54,y=\frac{9}{8}x-\frac{23}{8},y=\frac{6}{17}x+\frac{8}{17}$

Po rozwiązaniu wszystkich zadań, uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki nauczycielowi, który ocenia ich pracę i wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych
Oblicz pole rombu ABCD o wierzchołkach A ( - 2; - 4), B ( 2; 6), którego przekątne przecinają się w punkcie ( 2; 4).

Odp.
80

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania:

- Środkiem odcinka AB, gdzie AxA;yA, BxB;yB jest punkt SxA+xB2;yA+yB2.

- Aby wyznaczyć równanie symetralnej odcinka AB należy:
a) wyznaczyć współrzędne środka odcinka AB,
b) wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B,
c) wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do odcinka AB i przechodzącej przez jego środek.

- Aby wyznaczyć równanie środkowej trójkąta, należy obliczyć współrzędne środka boku trójkąta, następnie wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez wyznaczony środek boku i przez wierzchołek trójkąta, który nie jest końcem tego boku.