Temat

Potęga o wykładniku całkowitym

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

I. Liczby rzeczywiste. Zakres podstawowy. Uczeń:

1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Obliczanie wartości potęg o wykładnikach całkowitych.

2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza potęgi o wykładnikach całkowitych na podstawie definicji.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą obliczać wartości potęg o wykładnikach całkowitych.

Realizacja lekcji

Polecenie
Uczniowie przypominają definicję potęgi o wykładniku naturalnym.

Potęgą liczby a o wykładniku naturalnym (n > 1) nazywamy iloczyn n czynników, z których każdy jest równy a.

Symbolicznie zapisujemy:

Ponadto przyjmujemy, że aIndeks górny 0⁰ = 1, dla a ≠ 0.

[Ilustracja interaktywna]

Uczniowie analizują przykłady:

$6^{-1}=\frac{1}{6}$

${\left(\frac{5}{8}\right)}^{-1}=\frac{8}{5}$

${\left(0,3\right)}^{-1}={\left(\frac{3}{10}\right)}^{-1}=\frac{10}{3}$

Następnie wspólnie zapisują w postaci ułamków: $7^{-1},{\left(\frac{1}{9}\right)}^{-1},{\left(1\frac{1}{2}\right)}^{-1},{(0,8)}^{-1}$.

Powinni zauważyć, że otrzymane wyniki, to odwrotności odpowiednio liczb: $7;\frac{1}{9};1\frac{1}{2};0,8.$

Definicja potęgi o wykładniku -1.
Dla dowolnej liczby a, a ≠ 0 przyjmujemy aIndeks górny -1^-1 = $\frac{1}{a}.$

Korzystając z powyższej definicji i własności działań na potęgach, uczniowie obliczają wartości potęg o wykładnikach ujemnych.

$2^{-3}={\left(2^{-1}\right)}^3=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}={\left({\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\right)}^{-1}\right)}^2=\frac{1}{{\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)}^2}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{9}}}=9$

Następnie wspólnie definiują potęgę o wykładniku całkowitym ujemnym.

Definicja potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym.
Dla każdej liczby naturalnej n i dla dowolnej liczby a, a ≠ 0 przyjmujemy $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Korzystając z definicji, uczniowie obliczają wartości potęg o ujemnych wykładnikach całkowitych.

Polecenie
Oblicz.

a) $3^{-2},4^{-4},{10}^{-2},{47}^{-1},-2^{-3},{(-2)}^{-2}$

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3},\frac{2}{5^{-2}},{(-\frac{1}{7})}^{-1},0,8^{-2},{(-0,3)}^{-2},-{(-0,3)}^{-2}$

Polecenie
W wykropkowane miejsce wpisz odpowiedni znak <, >, =.

a) $2^{-3}...-2^{-3}$

b) $3^{-3}...{\left(-3\right)}^{-3}$

c) $-4^{-5}...{\left(-4\right)}^{-5}$

d) $1^{-4}...-{\left(-1\right)}^{-4}$

Polecenie
W miejsce kropek wpisz odpowiedni wykładnik.

a) $\frac{2}{7}={\left(\frac{7}{2}\right)}^{...}$

b) $8={\left(\frac{1}{2}\right)}^{...}$

c) $\frac{{\displaystyle 16}}{81}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{...}$

d) $\frac{{\displaystyle 1}}{125}=5^{...}$

Polecenie
Oblicz.

a) $1^{-5}-(-1{)}^{-5}$

b) $\frac{{\displaystyle 1}}{3}·3^2-(-3{)}^{-1}$

c) ${10}^3·0,1^{-4}$

Polecenie dla chętnych:
Oblicz wartość wyrażenia $-(-{(-3)}^{-2})+{(-\frac{1}{3})}^{-2}:9$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

Potęgą liczby a o wykładniku naturalnym (n > 1) nazywamy iloczyn n czynników, z których każdy jest równy a.

Symbolicznie zapisujemy:

Ponadto przyjmujemy, że aIndeks górny 0⁰ = 1, dla a ≠ 0.

Liczbę a nazywamy podstawą potęgi, liczbę n - wykładnikiem potęgi.

Dla dowolnej liczby a, a ≠ 0 przyjmujemy $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.