Temat

Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zakres podstawowy. Uczeń:

2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu itp.).

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Wyznaczanie współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez dwa różne punkty o różnych odciętych.

2. Wyznaczanie równania prostej, przechodzącej przez dwa punkty, w postaci kierunkowej, gdy jest to możliwe i w postaci kanonicznej.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wyznacza współczynnik kierunkowy prostej, o ile istnieje,

- wyznacza równanie kierunkowe prostej, o ile istnieje,

- wyznacza równanie ogólne prostej przechodzącej przez dwa różne punkty,

- przekształca równanie prostej z postaci kierunkowej do ogólnej i na odwrót, o ile to możliwe.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Dyskusja sterowana.

Formy pracy

1. Praca grupowa.

2. Praca indywidualna.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Celem części wprowadzającej jest przypomnienie pojęć matematycznych, które będą wykorzystywane w toku lekcji:

- wzoru funkcji liniowej: $f\left(x\right)=ax+b$,

- wzoru $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa różne
punkty $A=\left(x_A,y_A\right)$ i $B=\left(x_B,y_B\right)$ takie, że $x_A\ne x_B$,

- interpretacji geometrycznej współczynnika $b$ we wzorze funkcji liniowej.

Uczniowie pracują w parach. Każda para otrzymuje kartę pracy.

Karta pracy:

1. Dana jest funkcja $f$ określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f\left(x\right)=3x+2$.

a) Jak nazywa się tego typu funkcja?
b) Co jest wykresem tej funkcji?
c) Jak nazywają się współczynniki 3 i 2 we wzorze funkcji $f$?
d) Jaki sens geometryczny mają współczynniki 3 i 2?
e) Na którym rysunku przedstawiony jest wykres tej funkcji?

[Ilustracja 1]

2. Zapisz w postaci kierunkowej równania prostych, przedstawionych na rysunkach A – D z zadania 1.

Uczniowie prezentują swoje rozwiązania, wyjaśniają wątpliwości.

Realizacja lekcji

Uczniowie wspólnie omawiają kolejny przykład, zapisując równanie kierunkowe prostej przedstawionej na rysunku: $y=0·x+3$.

[Ilustracja 2]

Dyskusja:
Jak scharakteryzować za pomocą współrzędnych dowolny punkt leżący na tej prostej?

Nauczyciel kieruje dyskusją tak, żeby pojawiło się stwierdzenie, iż prosta $AB$ jest zbiorem wszystkich punktów, których rzędna jest taka sama i równa 3, czyli $y=3$. Wskazuje, że każda para liczb $(x,3)$ spełnia równanie $y=0·x+3$.

Jak zapisać równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(4,-1)$i $B=(4,5)$? Jakie inne punkty leżą na prostej $AB$?

Nauczyciel kieruje dyskusją tak, żeby uczniowie zaproponowali równanie $x=4$ oraz zauważyli, że każdy punkt o odciętej 4 leży na tej prostej. Nauczyciel prosi o zapisanie tego równania w takiej postaci, żeby wystąpiły w niej obie zmienne $x$ i $y$. Po uzyskaniu odpowiedzi $x=0·y+4$ podsumowuje, formułując wniosek i definicję równania prostej w postaci ogólnej.

Wniosek:
Każdą prostą na płaszczyźnie kartezjańskiej możemy opisać równaniem $Ax+By+C=0$, gdzie współczynniki $A$ i $B$ nie mogą być jednocześnie równe 0, przy czym jeśli $A=0$, to prosta jest równoległa do osi $OX$, a jeśli $B=0$, to prosta jest równoegła do osi $OY$.

Definicja – równanie prostej w postaci ogólnej:
Równanie $Ax+By+C=0$, gdy $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe 0, nazywamy równaniem prostej w postaci ogólnej.

Uczniowie pracują indywidualnie rozwiązując zadanie.

Polecenie 1

Dany jest trójkąt $\mathrm{ABC}$, w którymm $A=(-3,1)$, $B=(3,5)$, $C=(3,1)$.

Zapisz równania prostych zawierających boki $\mathrm{AB}$ i $\mathrm{AC}$ trójkąta $\mathrm{ABC}$.

Skorzystaj ze wzoru $y=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\left(x-x_A\right)+y_A$ na równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty $A=(x_A,y_A)$ i $B=(x_B,y_B)$ takie, że $x_A\ne x_B$.

Wybrany uczeń przedstawia rozwiązanie, a nauczyciel inicjuje dyskusję:

- Czy poznany wzór można wykorzystać do zapisania równania prostej zawierającej bok $\mathrm{BC}$
trójkąta $\mathrm{ABC}$? Jeśli nie, to dlaczego?

- Jak przekształcić to równanie, żeby można było za jego pomocą wyznaczyć równanie prostej $\mathrm{BC}$.

Nauczyciel tak kieruje dyskusją, żeby uczniowie:

- wskazali, że powodem niemożliwości zastosowania wzoru jest równość odciętych punktów $B$ i $C$,
czyli $x_B=x_C$, gdyż wtedy mianownik ułamka $\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}$ będzie równy 0,

- zaproponowali pomnożenie obu stron równania: $y=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\left(x-x_A\right)+y_A$ przez $x_B-x_A$ i zapisanie go w postaci równoważnej $(y_B-y_A)(x-x_A)-(x_B-x_A)(y-y_A)=0$.

Nauczyciel podkreśla, że za pomocą tego równania, nazywanego równaniem  ogólnym w postaci kanonicznej, można opisać każdą prostą przechodzącą przez dwa różne punkty
$A=(x_A,y_A)$ i $B=(x_B,y_B)$.

Uczniowie pracują w parach, korzystając z komputerów. Wyznaczają równania prostych dla zadanych punktów $A$ i $B$.

Polecenie 2

Otwórz aplet Geogebry „Równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty”. Zmieniaj położenie punktów $A$ i $B$ Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej $\mathrm{AB}$ oraz równanie tej prostej w postaci kierunkowej i ogólnej. Sprawdź swoje odpowiedzi.

[Geogebra aplet]

Uczniowie pracują indywidualnie rozwiązując zadania. Po zakończonej pracy zadania są omawiane.

Polecenie 3

Dane jest równanie ogólne prostej. Przekształć je, o ile to możliwe, do postaci kierunkowej.

a) $2x-3y+9=0$

b) $-x+2y+4=0$

c) $2x+3y=0$

d) $x-0·y+9=0$

Polecenie dla chętnych:

Wykaż, że każda prosta o równaniu $(m^2+1)x+(m^2-1)y-2=0$ przechodzi przez punkt
 $M=(1,-1)$, ale żadna z tych prostych nie przechodzi przez punkt $N=(-1,-1)$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadania utrwalające i podsumowują lekcję formułując najważniejsze informacje do zapamiętania.

Równanie kierunkowe prostej: $y=ax+b$.

Równanie ogólne prostej: $Ax+By+C=0$, gdzie współczynniki $A$ i $B$ nie mogą być jednocześnie równe 0, przy czym jeśli $A=0$, to prosta jest równoległa do osi $OX$, a jeśli $B=0$, to prosta jest równoległa do osi $OY$.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty:

takie, że: $A=(x_A,y_A)$ i $B=(x_B,y_B)$.