Temat

Działania na logarytmach – logarytm iloczynu oraz logarytm potęgi

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;

9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie wzorów na  logarytm iloczynu oraz logarytm potęgi.

3. Stosowanie wzorów na logarytm iloczynu oraz logarytm potęgi.

Efekty uczenia

Uczeń:

- poznaje wzory na  logarytm iloczynu oraz logarytm potęgi,

- stosuje wzory na logarytm iloczynu oraz logarytm potęgi.

Metody kształcenia

1. Mapa myśli.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie pracują w dwóch grupach. Grupa pierwsza tworzy mapę myśli zawierającą informacje na temat logarytmów. Grupa druga tworzy mapę myśli zawierającą informacje na temat działań na potęgach.

Po zakończonej pracy uczniowie prezentują swoje plansze.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie i stosowanie w obliczeniach wzorów na logarytm iloczynu oraz logarytm potęgi.

Uczniowie, pracując w grupach, analizują Slideshow przedstawiający sposób otrzymywania wzoru na logarytm iloczynu oraz logarytm potęgi. Zapisują odpowiednie twierdzenia.

[Slideshow]

Twierdzenie – logarytm iloczynu:
Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a, dla dowolnych liczb x > 0 i y > 0 zachodzi wzór:

Twierdzenie – logarytm potęgi:
Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a, dla dowolnej liczby x > 0 oraz dowolnej liczby wymiernej zachodzi wzór:

Uczniowie, korzystając z zapisanych wzorów, rozwiązują zadania.

Polecenie 1

Oblicz wartość wyrażenia:

a) ${\log }_{6}2+{\log }_{6}12+{\log }_{6}9$,

b) $\log 4+\log 25$,

c) ${\log }_{15}9+{\log }_{15}25$,

d) ${\log }_{\frac{1}{8}}2+{\log }_{\frac{1}{8}}4$.

Polecenie 2

Oblicz wartość wyrażenia:

a) ${\log }_{3}729$,

b) ${\log }_2\frac{1}{32}$,

c) ${\log }_{6}27+{\log }_{6}8$,

d) $2{\log }_{12}2+2{\log }_{12}6$.

Polecenie 3

Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia, jeśli ${\log }_{5}2\approx 0,43$, ${\log }_{5}7\approx 1,21$:

a) ${\log }_{5}14$,

b) ${\log }_{5}56$,

c) ${\log }_{5}70$,

d) ${\log }_5\mathrm{3,5}$.

Polecenie 4

Oblicz x:

a) ${\log }_{5}x=2{\log }_{5}4$,

b) ${\log }_{2}x=-3{\log }_2\frac{{\displaystyle 4}}{3}$,

c) ${\log }_{7}x=2{\log }_2\frac{{\displaystyle 3}}{4}$,

d) ${\log }_{\frac{{\displaystyle 1}}{2}}x=-2{\log }_{\frac{{\displaystyle 1}}{2}}7$.

Polecenie 5

Zapisz w postaci logarytmu:

a) $1+{\log }_{2}5-{\log }_{2}10$,

b) $2\log 3+\log 2+1$,

c) $\frac{1}{3}{\log }_{3}2+2$,

d) ${\log }_{4}6+2$.

Polecenie 6

Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich rzeczywistych x i y podana równość jest prawdziwa:

a) $\log \frac{x}{y}+\log \frac{y}{x}=0$,

b) ${\log }_2{x}^{2}y-{\log }_{2}x{y}^2={\log }_{2}x-{\log }_{2}y$.

Polecenie dla chętnych

a) ${\log }_{6}x=2{\log }_{6}4-{\log }_{6}18$,

b) ${\log }_{3}x=-2+2{\log }_{3}2$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują twierdzenia do zapamiętania.

- Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a, dla dowolnych liczb x > 0 i y > 0 zachodzi zależność.
${\log }_a(x·y)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$.

- Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a, dla dowolnej liczby x > 0 zachodzi zależność
${\log }_a{x}^r=r·{\log }_{a}x$.