Temat

Równania i nierówności

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

III. Równania i nierówności. Uczeń:

1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;

2) interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;

3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Rozwiązywanie równań metodą równań równoważnych.

3. Rozwiązywanie nierówności metodą nierówności równoważnych.

Efekty uczenia

Uczeń:

- rozwiązuje równania metodą równań równoważnych,

- rozwiązuje nierówności metodą nierówności równoważnych.

Metody kształcenia

1. Piłeczka.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, metodą „piłeczki”, powtarzają wiadomości na temat równań i nierówności oraz metod ich rozwiązywania. Wszyscy stoją w kręgu i rzucają do siebie wzajemnie piłeczką.

Uczeń, do którego została rzucona piłeczka, musi udzielić odpowiedzi na pytanie zadane przez nauczyciela. Jeżeli nie zna odpowiedzi na postawione pytanie, odpada z kręgu.

Przykładowe pytania, które może zadać nauczyciel:

- Co nazywamy równaniem?

- Co to znaczy rozwiązać równanie?

- Jakie równania nazywamy równaniami równoważnymi?

- Czy każde równanie posiada rozwiązanie?

- Co to jest nierówność?

- Jakie nierówności nazywamy nierównościami równoważnymi?

Grę kończy nauczyciel, gdy uzyska odpowiedzi na wszystkie pytania.

Nauczyciel, po zakończonej grze, weryfikuje wypowiedzi uczniów i wyjaśnia wszystkie wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest przypomnienie i utrwalenie wiadomości na temat równań i nierówności oraz metod ich rozwiązywania.

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, analizują Ilustrację interaktywną ilustrującą sposób rozwiązania równania. Ich zadaniem jest podanie etapów rozwiązania równania. Formułują wniosek.

[Ilustracja interaktywna 1]

Wniosek, który powinni zanotować:

- Etapy rozwiązania równania.

1. Niewiadome przenosimy na lewą stronę równania, a liczby na prawą.

2. Przenosząc wyrażenie na drugą stronę równania, zmieniamy jego znak na przeciwny.

3. Przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych.

4. Jeśli przy niewiadomej stoi liczba, dzielimy obie strony równania przez tę liczbę.

Dyskusja – jakie dodatkowe czynności należy wykonać, jeżeli współczynniki liczbowe są zapisane w postaci ułamków lub występują nawiasy? Uczniowie wspólnie formułują wniosek.

Wniosek, który powinni sformułować uczniowie:

- Jeżeli w równanie występują współczynniki liczbowe w postaci ułamków, to obie strony równania możemy pomnożyć przez wspólny mianownik tych ułamków .

Pozbywamy się nawiasów wykonując wskazane działania.

Uczniowie, pracując samodzielnie, sprawdzają swoje umiejętności rozwiązując zadania.

Polecenie 
Rozwiąż równania.

a) $\frac{x+3}{2}-\frac{x-4}{3}=0$

b) $\frac{2+x}{3}+\frac{3-x}{6}=1$

c) $\frac{x-4}{3}-\frac{2x-1}{5}=x+\frac{11-2x}{15}$

d) $\frac{3(x-11)}{4}=\frac{3(x+1)}{5}-\frac{2(2x-5)}{11}$

Polecenie 
Dla jakiej wartości liczby a, rozwiązaniem podanego  równania jest liczba 0,5?

$(3x+1)\left(x+a\right)-3\left(x-1\right)(x-a)=4$

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, analizują Ilustrację interaktywną ilustrującą sposób rozwiązania nierówności. Ich zadaniem jest podanie etapów rozwiązania nierówności. Formułują wniosek.

[Ilustracja interaktywna 2]

Wniosek:

- Etapy rozwiązania nierówności.

1. Niewiadome przenosimy na lewą stronę nierówności, a liczby na prawą.

2. Przenosząc wyrażenie na drugą stronę nierówności, zmieniamy jego znak na przeciwny.

3. Przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych.

4. Jeśli przy niewiadomej stoi liczba, dzielimy obie strony nierówności przez tę liczbę

5. Dzielenie stron nierówności przez liczbę ujemną wymaga zmiany zwrotu tej nierówności na przeciwny.

Uczniowie, pracując samodzielnie, sprawdzają swoje umiejętności rozwiązując zadania.

Polecenie 
Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej.

a) $2\left(x-1\right)-3\left(x-2\right)<6$

b) $x-\frac{3(x+2)}{4}>1+x$

c) $\frac{x-5}{2}-\frac{3-x}{6}\le \frac{x+4}{3}$

d) $\frac{4-x}{5}-\frac{x+2}{3}\ge \frac{2-8x}{15}$

Polecenie 
Dla jakiej wartości liczby a, zbiorem rozwiązań nierówności $2(x-5)<ax-16$ jest zbiór $(1,\infty )$.

Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają swoje wyniki. Nauczyciel ocenia ich prace, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:
Rozwiąż nierówność $1-\frac{x-3}{3}\le {(x-1)}^2-x^2$.

a) Wskaż liczby całkowite większe od -3 należące do zbioru rozwiązań nierówności.

b) Podaj trzy liczby, które nie są wymierne należące do zbioru rozwiązań nierówności.

c) Czy liczba $\frac{1}{7}$ należy do zbioru rozwiązań nierówności?

Podsumowanie lekcji

Uczniowie rozwiązują zadania utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

- Etapy rozwiązania równania (nierówności).

1. Niewiadome przenosimy na lewą stronę równania (nierówności), a liczby na prawą.

2. Przenosząc wyrażenie na drugą stronę równania (nierówności), zmieniamy jego znak na przeciwny.

3. Przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych.

4. Jeśli przy niewiadomej stoi liczba, dzielimy obie strony równania (nierówności) przez tę liczbę

5. Dzielenie stron nierówności przez liczbę ujemną wymaga zmiany zwrotu tej nierówności.