Temat

Pole powierzchni i objętość walca

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

X. Stereometria. Uczeń:

4. rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;

6. oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka, kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;

7. wykorzystuje zależności między objętościami brył podobnych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Obliczanie pola powierzchni i objętości walca z wykorzystaniem trygonometrii.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza pole powierzchni i objętość walca z wykorzystaniem trygonometrii.

Metody kształcenia

1. Mapa myśli.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest obliczanie pól powierzchni i objętości walców.

Uczniowie pracując w grupach, tworzą mapy myśli zawierające najważniejsze, poznane już informacje na temat walca. Po skończonej pracy prezentują swoje plansze, zwracając uwagę na wzór na pole powierzchni i wzór na objętość walca.

Realizacja lekcji

Wzór na obliczanie pola powierzchni walca:

r - promień podstawy walca,

H - wysokość walca.

Wzór na obliczanie objętości walca:

Uczniowie, pracując w grupach, analizują materiał przedstawiony w aplecie.

Polecenie
Przeanalizuj uważnie materiał przedstawiony w aplecie. Zwróć uwagę na kolejne etapy rozwiązania zadania.

[Geogebra aplet]

Uczniowie pracując samodzielnie, korzystając z poznanych wzorów, rozwiązują zadania.

Polecenie
Prostokąt o wymiarach 15 cm na 10 cm obracano najpierw wokół dłuższego boku, następnie wokół krótszego boku. Czy otrzymane w ten sposób walce mają taką samą objętość i pole powierzchni całkowitej? Odpowiedź uzasadnij.
Odp. Nie.

Polecenie
Przekrój osiowy walca jest prostokątem, którego przekątna długości 15 cm tworzy z wysokością kąt o mierze $\alpha$. Wyznacz wysokość walca i promień podstawy wiedząc, że $tg\alpha =3$.
Odp. H = $\frac{3}{2}\sqrt{10}$ cm, r = $\frac{3}{4}\sqrt{10}$ cm.

Polecenie
Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyźnie jest prostokątem. Dłuższy bok tego prostokąta jest wysokością walca. Przekątna prostokąta długości 18 cm tworzy z dłuższym bokiem prostokąta kąt o mierze 30°. Oblicz objętość tego walca.
Odp. V = $\frac{729\sqrt{3}}{4·\pi }$.

Polecenie
Dwa walce są podobne w skali k = 3. Suma objętości obu walców równa się $140·\pi$. Oblicz objętość każdego z walców. Odpowiedź uzasadnij.
Odp. $V_1=5·\pi$, $V_2=135·\pi$.

Polecenie
Suma pól obu podstaw walca jest równa polu powierzchni bocznej walca i wynosi $72·\pi$ cmIndeks górny 2². Oblicz wysokość walca.
Odp. H = 6 cm.

Polecenie
Średnica wewnętrzna każdej z rur, z których jest zbudowany wodociąg jest równa 3 cale (1 cal = 2,54 cm). W rurociągu znajduje się około 510 l wody. Oblicz przybliżoną długość rurociągu.
Odp. 120,2 km.

Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie porządkują otrzymane liczby od największej do najmniejszej.

Polecenie dla chętnych
Masa wirnika w kształcie walca o średnicy 6 cm i wysokości 10 cm jest równa 1,4 kg. Oblicz masę 1 cmIndeks górny 3³ stopu, z którego jest wykonany wirnik.
Odp. 0,005 kg.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują wzory do zapamiętania.

- Pole powierzchni całkowitej walca równa się sumie pól jego podstaw i pola powierzchni bocznej.

- Objętość walca równa się iloczynowi pola podstawy walca i jego wysokości.