Temat

Rozwiązywanie równań i nierówności z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:

1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: $(a+b{)}^2$ , $(a-b{)}^2$ , $a^2-b^2$ , $(a+b{)}^3$ , $(a-b{)}^3$ , $a^3-b^3$ , $a^{\mathrm{n}}-b^{\mathrm{n}}$.   

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Stosowanie wzorów skróconego mnożenia w przekształcaniu wyrażeń algebraicznych.

3. Rozwiązywanie równań i nierówności z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.

Efekty uczenia

Uczeń:

- stosuje wzory skróconego mnożenia w przekształcaniu wyrażeń algebraicznych,

- rozwiązuje równania i nierówności z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.

Metody kształcenia

1. Mówiące kartki.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, metodą „mówiące kartki”, powtarzają wiadomości na temat wzorów skróconego mnożenia. Każdy uczeń, na której zapisuje jeden wzór. Następnie, wyznaczony uczeń zbiera kartki i odczytuje zapisane wzory. Nauczyciel, w miarę potrzeby, rozwija i uzupełnia istotne treści.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest utrwalenie wzorów skróconego mnożenia i rozwiązywanie równań i nierówności z wykorzystaniem tych wzorów.

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, analizują materiał przedstawiony w Slideshow 1, stawiają hipotezy, sprawdzają je i zapisują etapy rozwiązania równania.

[Slideshow 1]

Etapy rozwiązania równania:
1. Wykonujemy działania zapisane w nawiasach, stosujemy wzory skróconego mnożenia.
2. Niewiadome przenosimy na lewą stronę równania, a wyrażenia bez niewiadomych na prawą, pamiętając o zmianie znaków na przeciwne.
3. Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych.
4. Dzielimy obie strony równania przez liczbę stojącą obok niewiadomej.
5. Obliczamy pierwiastek równania.

Korzystając z uzyskanych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie
Rozwiąż równania.

a) $(x+5{)}^2-(x-3{)}^2=x+1$

b) $(x+3{)}^2-(4-x\left)\right(4+x)=2(x-1{)}^2+1$

c) $(x-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})-(x+\sqrt{3})(x+\sqrt{3})-\sqrt{12}=0$

d) $(x+2\sqrt{5}{)}^2+(x-2\sqrt{5}{)}^2=46$

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, analizują materiał przedstawiony w Slideshow 2, stawiają hipotezy, sprawdzają je i zapisują etapy rozwiązania nierówności.

[Slideshow 2]

Etapy rozwiązania nierówności:
1. Wykonujemy działania zapisane w nawiasach, stosujemy wzory skróconego mnożenia.
2. Niewiadome przenosimy na lewą stronę nierówności, a wyrażenia bez niewiadomych na prawą, pamiętając o zmianie znaków na przeciwne.
3. Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych.
4. Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę stojącą obok niewiadomej. Jeżeli liczba stojąca obok niewiadomej jest liczbą ujemną, to zmieniamy znak nierówności na przeciwny.
5. Wyznaczamy rozwiązanie nierówności.
6. Zbiór rozwiązań nierówności przedstawiamy na osi liczbowej.

Korzystając z poznanych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie
Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej.

a) $(2x+3)(2x-3)-8x>(2x-3{)}^2-18$

b) $x^2-\frac{{(x-1)}^2}{2}<\frac{(x-2)(x+2)}{2}+2x-1$

c) $(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})-(x+\sqrt{2}{)}^2<0$

d) $(2-x{)}^2-5\ge (x-\sqrt{3}{)}^2$

Polecenie
Dla jakiej wartości liczby a rozwiązaniem równania

$(x-a{)}^2=(x+2\left)\right(x-2)-(1,5·x-4)$ jest liczba 2?

Po rozwiązaniu zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki i sami oceniają swoje prace.

Nauczyciel weryfikuje wypowiedzi uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:
Rozwiąż równania.

a) $x^2·(x^2-4)-3·(x^2-4)=0$

b) $-4·(x^2-12)=x^2·(12-x^2)$

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.

Etapy rozwiązania równania:
1. Wykonujemy działania zapisane w nawiasach, stosujemy wzory skróconego mnożenia.
2. Niewiadome przenosimy na lewą stronę równania, a wyrażenia bez niewiadomych na prawą, pamiętając o zmianie znaków na przeciwne.
3. Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych.
4. Dzielimy obie strony równania przez liczbę stojącą obok niewiadomej.
5. Obliczamy pierwiastek równania.

Etapy rozwiązania nierówności:
1. Wykonujemy działania zapisane w nawiasach, stosujemy wzory skróconego mnożenia.
2. Niewiadome przenosimy na lewą stronę nierówności, a wyrażenia bez niewiadomych na prawą, pamiętając o zmianie znaków na przeciwne.
3. Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych.
4. Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę stojącą obok niewiadomej. Jeżeli liczba stojąca obok niewiadomej jest liczbą ujemną, to zmieniamy znak nierówności na przeciwny.
5. Wyznaczamy rozwiązanie nierówności.
6. Zbiór rozwiązań nierówności przedstawiamy na osi liczbowej.