Temat

Ciąg arytmetyczny

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VI. Ciągi. Uczeń:

4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny;

5) stosuje wzór na n‑ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Znajdowanie wyrazów ciągu na podstawie wzoru ogólnego.

3. Znajdowanie wzoru ogólnego na podstawie wyrazów ciągu.

Efekty uczenia

Uczeń:

- znajduje wyrazy ciągu na podstawie wzoru ogólnego,

- znajduje wzór ogólny na podstawie wyrazów ciągu.

Metody kształcenia

1. Stoliki zadaniowe.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Praca w grupach. Uczniowie rozwiązują zadania przypominające poznane wiadomości o ciągach.

Stolik 1 – Dany jest ciąg, którego początkowe wyrazy to: $\frac{1}{4},\frac{1}{16},\frac{1}{36},\frac{1}{64},\frac{1}{100},...$

Podaj wzór ogólny tego ciągu.

Stolik 2 – Napisz cztery początkowe wyrazy ciągu $\left(a_n\right)$ określonego wzorem $a_n=2-n^2,n\in N_{+}.$

Stolik 3 – Które z wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$, określonego wzorem $a_n=(n^2-2)(n^2-4)(n-5)$ są równe zeru?

Nauczyciel podsumowuje zadania, wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie  jednego ze szczególnych ciągów, ciągu arytmetycznego.

Uczniowie, pracując samodzielnie, rozwiązując zadanie. Formułują wnioski.

Polecenie 1
Wyznacz pięć kolejnych wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$, określonego wzorem ogólnym $a_n=-2n+1$. Oblicz różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu. Zanotuj swoje obserwacje.

Wniosek:

Różnica między kolejnymi  wyrazami ciągu jest liczbą stałą.

Nauczyciel informuje uczniów, że  ciąg liczbowy o tej własności, nazywamy ciągiem arytmetycznym.

Definicja

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym różnica między dowolnym wyrazem ciągu a wyrazem, który go bezpośrednio poprzedza, jest stała dla danego ciągu.

Jeżeli ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to na mocy definicji mamy $a_{n+1}-a_n=r$.

Uczniowie poznają wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego.

Niech dany będzie ciąg arytmetyczny $\left(a_n\right)$ o różnicy r.

Na podstawie definicji ciągu arytmetycznego otrzymujemy $a_{n+1}-a_n=r$.

$a_2=a_1+r$

$a_3=a_2+r=(a_1+r)+r=a_1+2r$

$a_4=a_3+r=(a_1+2r)+r=a_1+3r$

$a_5=a_4+r=(a_1+3r)+r=a_1+4r$

$a_n=a_{n-1}+r=[a_1+(n-2\left)r\right]+r=a_1+(n-1)r$

stąd:

$a_n=a_1+(n-1)r$

[Ilustracja interaktywna]

Twierdzenie

Jeżeli ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to dla każdego $n\in N_{+},a_n=a_1+(n-1)·r$.

Uczniowie, korzystając z nowych informacji, rozwiązują samodzielnie zadania.

Polecenie 2
Wyznacz różnicę r ciągu arytmetycznego $a_1=-12,a_{34}=65$.

Polecenie 3
Wyznacz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$, w którym $a_7=37,r=5,5$.

Polecenie 4
Dla jakiej wartości k liczby $a_1=3,a_2=k+1,a_3=3k-6$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$?

Polecenie 5
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb równa się 20, a suma kwadratów liczb skrajnych równa jest 218. Znajdź te liczby.

Polecenie dla chętnych
W pewnym ciągu arytmetycznym suma czwartego i siódmego wyrazu jest równa 86, a suma drugiego i trzynastego 22. Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia podsumowujące. Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.

- Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym różnica między dowolnym wyrazem ciągu a wyrazem, który go bezpośrednio poprzedza, jest stała dla danego ciągu.

- Jeżeli ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to na mocy definicji mamy $a_{n+1}-a_n=r.$