Temat

Zastosowanie funkcji trygonometrycznych do obliczania pól wielokątów

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VII. Trygonometria. Uczeń:

5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta: $P=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot sin\gamma$.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie wzorów na pola wielokątów z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych.

3. Wykorzystanie wzoru na pole trójkąta do obliczania długości boków i miar kątów w trójkątach.

Efekty uczenia

Uczeń:

- zna wzory na pola wielokątów z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych,

- wykorzystuje wzór na pole trójkąta do obliczania miar odcinków i kątów w trójkącie.

Metody kształcenia

1. Piramida priorytetów.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w grupach, tworzą piramidę priorytetów zawierającą poznane przez nich wiadomości na temat funkcji trygonometrycznych oraz sposobu obliczania pola trójkąta. Po zakończonej pracy prezentują swoje plansze.

Nauczyciel weryfikuje wypowiedzi uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie wzoru na obliczanie pola trójkąta z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych.

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, analizują materiał przedstawiony na Ilustracji interaktywnej. Formułują wniosek.

[Ilustracja interaktywna]

Wniosek:

- Pole trójkąta równa się połowie iloczynu długości dwóch boków trójkąta przez sinus kąta zawartego między tymi bokami.

Polecenie
W trójkącie równoramiennym dana jest długość podstawy $a=8$ cm i miara kąta przy podstawie $\alpha =30°$. Oblicz pole tego trójkąta.

Dyskusja - czy poznany wzór na obliczanie pola trójkąta można wykorzystać do obliczania pól innych wielokątów? Uczniowie stawiają hipotezy, sprawdzają je i formułują wniosek.

Wniosek:

- Korzystając ze wzoru na pole trójkąta można obliczyć pole równoległoboku, gdy znamy długości jego boków i miarę kąta zawartego między nimi.

Pole równoległoboku równa się iloczynowi długości boków przez sinus kąta zawartego między nimi.

Korzystając z poznanych wiadomości, uczniowie rozwiązują zadania.

Polecenie
W trójkącie równoramiennym o polu równym $16\sqrt{3}$ cmIndeks górny 2² stosunek wysokości opuszczonej na podstawę do długości podstawy jest równy $\frac{\sqrt{3}}{6}$. Oblicz miary kątów oraz obwód tego trójkąta.

Polecenie
W kwadracie ABCD o boku długości 10 cm punkt E jest środkiem boku AD, a punkt F jest środkiem boku AB. Oblicz pole i obwód trójkąta EFC.

Polecenie
Jeden z boków równoległoboku ma długość 18 cm i tworzy z drugim bokiem kąt taki, że $sin\alpha =0,8$. Oblicz obwód tego równoległoboku, jeśli jego pole jest równe 72 cmIndeks górny 2².

Polecenie
Oblicz pole i obwód trapezu prostokątnego, w którym krótsza podstawa ma długość 6 cm, wysokość 8 cm, a dłuższa przekątna tworzy z dłuższa podstawą trapezu kąt o mierze 30°.

Po rozwiązaniu wszystkich zadań, uczniowie samodzielnie oceniają swoją pracę. Nauczyciel weryfikuje odpowiedzi i wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:
Wykaż, że jeśli przekątne równoległoboku mają długości c, d i przecinają się pod kątem $\alpha$, to pole równoległoboku opisane jest wzorem:

$P=\frac{1}{2}cdsin\alpha$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.

- Pole trójkąta równa się połowie iloczynu długości dwóch boków trójkąta przez sinus kąta zawartego między tymi bokami.

- Pole równoległoboku równa się iloczynowi długości boków przez sinus kąta zawartego między nimi.