Temat

Obliczanie wartości liczbowych  wyrażeń trygonometrycznych

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VII. Trygonometria. Uczeń:

4) korzysta z wzorów ${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1$, $tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }.$

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Obliczanie wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy dana jest jedna funkcja trygonometryczna.

3. Obliczanie wartości  liczbowych wyrażeń trygonometrycznych.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy dana jest jedna funkcja trygonometryczna,

- oblicza wartości liczbowe  wyrażeń trygonometrycznych.

Metody kształcenia

1. Niedokończone zdania.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w grupach, metodą niedokończonych zdań przypominają podstawowe wiadomości na temat funkcji trygonometrycznych.

Polecenie
Zdania, które muszą dokończyć uczniowie.

- Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy ...

- Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy ...

- Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy ...

- Wartość sinusa i cosinusa kąta ostrego należy do przedziału ...

Nauczyciel weryfikuje wypowiedzi uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest obliczanie wartości liczbowych wyrażeń trygonometrycznych.

Polecenie
Uczniowie, pracując parami, analizują materiał przedstawiony na Ilustracji interaktywnej. Czy można wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy dana jest jedna funkcja? Stawiają hipotezy, sprawdzają je i formułują wniosek.

[Ilustracja interaktywna]

Wniosek:

- Jeżeli znamy wartość jednej funkcji trygonometrycznej, to korzystając z tożsamości trygonometrycznych możemy wyznaczyć wartości pozostałych.

Korzystając z poznanych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie
Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym, $\sin \alpha =0,4.$ Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta.

Polecenie
Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym, $\cos \alpha =0,8.$Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta.

Polecenie
Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym, $tg\alpha =5.$ Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta.

Dyskusja – czy do obliczania wartości wyrażenia trygonometrycznego zawsze musimy korzystać z tablic wartości funkcji trygonometrycznych? Uczniowie stawiają hipotezy, sprawdzają je i formułują wniosek.

Wniosek:

- Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ prawdziwe są równości:

Korzystając z poznanych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie
Oblicz wartość wyrażenia.

a) $(sin18°{)}^2+(sin72°{)}^2+3$

b) $sin{35}^{\circ }·cos{55}^{\circ }+cos{35}^{\circ }·sin{55}^{\circ }$

c) $\frac{{({(sin{60}^{\circ })}^2+{(cos{30}^{\circ })}^2)}^2-({(sin{20}^{\circ })}^2+{(sin{70}^{\circ })}^2)}{(sin{45}^{\circ }·cos{45}^{\circ })}$

Polecenie
Sprawdź, czy istnieje kąt ostry $\alpha$ spełniający podany warunek.

a) $\cos \alpha =4-\cos \alpha$

b) $6+3·sin\alpha =3$

c) $\sqrt{8}-3\cdot sin\alpha +5=8\cdot sin\alpha$

Polecenie
Wiedząc, że $sin\alpha +cos\alpha =1,25$, oblicz $sin\alpha \cdot cos\alpha .$

Po rozwiązaniu wszystkich zadań,  uczniowie samodzielnie oceniają swoją pracę. Nauczyciel weryfikuje ich rozwiązania zadań, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:
Wykaż, że nie istnieje kąt ostry $\alpha$ taki, że $\frac{sin\alpha }{tg\alpha }+cos\alpha =5.$

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.

- Jeżeli znamy wartość jednej funkcji trygonometrycznej, to korzystając z tożsamości trygonometrycznych możemy wyznaczyć wartości pozostałych.

- Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ prawdziwe są równości: