Temat

Trójkąty podobne. Przykłady

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.

Cele szczegółowe

1. Stosowanie podobieństwa trójkątów do rozwiązywania zadań.

2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- stosuje cechy podobieństw trójkątów do rozwiązywania zadań,

- przeprowadza dowody geometryczne z wykorzystaniem cech podobieństwa trójkątów.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą stosować cechy podobieństw trójkątów do rozwiązywania zadań geometrycznych, w tym zadań na dowodzenie.

Uczniowie przypominają cechy podobieństwa trójkątów: kkk, bbb, bkb. Przypominają również, co to jest skala podobieństwa.

Uczniowie pracują w parach, ustalając, czy trójkąty o podanych cechach są podobne.

Polecenie
W którym z poniższych przypadków trójkąty $ABC$ i $PQR$ są podobne?

A)
$\angle A={40}^{\circ },\angle B={60}^{\circ },\angle C={80}^{\circ },\angle P={40}^{\circ },\angle Q={60}^{\circ },\angle R={80}^{\circ }$

B)
$\angle A={40}^{\circ },\angle B={70}^{\circ },\angle C={70}^{\circ },\angle P={50}^{\circ },\angle Q={65}^{\circ },\angle R={65}^{\circ }$

C)
$\left|AB\right|=2,5 cm, \left|BC\right|=4,5 cm, \left|CA\right|=3,5 cm, \left|PQ\right|=5 cm, \left|QR\right|=9 cm, \left|RP\right|=7 cm$

D)
$\left|AB\right|=3 cm, \left|BC\right|=5 cm, \left|CA\right|=5 cm, \left|PQ\right|=4,5 cm, \left|QR\right|=7,5 cm, \left|RP\right|=6 cm$

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują w parach, korzystając z komputerów. Zapoznają się z trzema przykładami trójkątów podobnych, które najczęściej wykorzystywane są w zadaniach geometrycznych.

Polecenie
Otwórz Aplet geogebry - „Przykłady trójkątów podobnych”.

[Geogebra aplet]

Wykonaj następujące zadania:
1. Prosta równoległa do podstawy trójkąta ABC odcina trójkąt podobny do trójkąta ABC. Przeanalizuj rysunek w aplecie. Z jakiej cechy podobieństwa wynika podobieństwo trójkątów ABC i DEC? Przesuwaj odcinek DE równolegle do podstawy AB. Jak zmienia się skala podobieństwa trójkątów? Zwróć szczególną uwagę na przypadek k = 2.

2. Trójkąty utworzone przez przekątne trapezu i zawierające jego podstawy są podobne. Przeanalizuj rysunek w aplecie. Z jakiej cechy podobieństwa wynika podobieństwo trójkątów ASB i DSC? Zmieniaj położenie wierzchołków trapezu i sprawdź, kiedy trójkąty zawierające ramiona trapezu będą podobne. Zmieniaj położenie wierzchołków trapezu tak, aby otrzymać równoległobok. Które trójkąty są podobne?

3. Wysokość w trójkącie prostokątnych opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne. Przeanalizuj rysunek w aplecie. Z jakiej cechy podobieństwa wynika podobieństwo trójkątów ADC i CDB? Czy te trójkąty są podobnie również do trójkąta ABC? Dlaczego?

Wybrana para uczniów prezentuje wyniki, które są omawiane na forum klasy.

Uczniowie w grupach, korzystając ze swoich obserwacji poczynionych w pracy z apletem: „Przykłady trójkątów podobnych” przeprowadzają dowód twierdzenia o linii środkowej trójkąta.

Twierdzenie – o linii środkowej trójkąta.

- Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i jest od niego dwa razy krótszy.

Grupy prezentują przygotowane dowody twierdzenia. Nauczyciel zwraca uwagę na poprawność dowodu równoległości linii środkowej do podstawy.

Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenie, następnie prezentują rozwiązania i wyjaśniają wątpliwości.

Polecenie
W trójkącie ABC poprowadzono odcinek DE równoległy do podstawy AB. Wyznacz długość odcinka BC, jeśli |EF| = 10, |AB| = 15, |EB| = 9.

Polecenie
W trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie S. Wyznacz długość odcinka DS, jeśli |AB| = 18, |DC| = 6, |DB| = 16.

Polecenie
W trójkącie prostokątnym ABC z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość CD. Oblicz długość przyprostokątnej AC, jeśli |CD| = 4, |BD| = 3.

Polecenie dla chętnych:
Dany jest trapez $ABCD$ o  podstawach $\left|AB\right|=a$ oraz $\left|CD\right|=b$. Prosta przechodząca przez punkt przecięcia przekątnych trapezu przecina boki tego trapezu w punktach $M$ i $N$. Udowodnij, że $\left|MN\right|=\frac{2ab}{a+b}$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Uczniowie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze ustalenia do zapamiętania.

- Prosta równoległa do podstawy trójkąta ABC odcina trójkąt podobny do trójkąta ABC.

- Linia środkowa w trójkącie jest równoległa do jego podstawy i równa połowie jej długości.

- Trójkąty utworzone przez przekątne trapezu i zawierające jego podstawy są podobne.

- Wysokość w trójkącie prostokątnych opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne.