Temat

Własności ciągów arytmetycznych

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VI. Ciągi. Uczeń:

4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny;

5) stosuje wzór na n‑ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Określanie własności ciągu arytmetycznego.

3. Wykorzystanie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Efekty uczenia

Uczeń:

- określa własności ciągu arytmetycznego,

- wykorzystuje zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego do określania ciągu.

Metody kształcenia

1. Diamentowe uszeregowanie.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie metodą diamentowego uszeregowania porządkują swoje wiadomości dotyczące ciągów liczbowych, sposobów ich opisywania oraz ciągu arytmetycznego.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć będzie poznanie własności ciągu arytmetycznego.

Uczniowie, pracując samodzielnie, analizują animację przedstawiającą zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Stawiają hipotezy. Formułują wnioski.

[Animacja]

Wniosek:

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego (poza pierwszym i ostatnim, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich.

Nauczyciel informuje, że dla ciągu arytmetycznego prawdziwe jest twierdzenie:

Twierdzenie:

Ciąg (aIndeks dolny n_n) jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu oprócz wyrazu pierwszego (i ewentualnie ostatniego), jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego.

Uczniowie, pracując w grupach, badają monotoniczność ciągu arytmetycznego. Stawiają hipotezy. Formułują wnioski.

Polecenie 1

Naszkicuj wykres ciągu arytmetycznego (aIndeks dolny n_n) o wzorze ogólnym aIndeks dolny n._n.

Określ monotoniczność tego ciągu. Zanotuj odpowiedni wniosek.

Grupa 1 - $a_n=3n+4, a_n=-\frac{2}{3}n-3, a_n=-4$

Grupa 2 - $a_n=-2n+2,a_n=-\frac{2}{3}n-1,a_n=4$

Grupa 3 - $a_n=3,a_n=\frac{2}{3}n+1,a_n=-4+3$

Wniosek:

Ciąg arytmetyczny o różnicy r jest ciągiem:

- rosnącym, jeżeli różnica r jest dodatnia,
- malejącym, jeżeli różnica r jest ujemna,
- stałym, jeżeli różnica r jest równa zeru.

Uczniowie wykorzystują nowe wiadomości do rozwiązania zadań.

Polecenie 2

Między liczby 7 i 23 wstaw trzy liczby tak, aby wraz z danymi tworzyły ciąg arytmetyczny.

Polecenie 3

W ciągu arytmetycznym (aIndeks dolny n_n) : aIndeks dolny 5₅ = -31, aIndeks dolny 10₁₀ = -66. Oblicz aIndeks dolny 1₁ i r. Określ monotoniczność tego ciągu.

Polecenie dla chętnych:

Dla jakich wartości x liczby 3x + 1,2x - 4,5x +3 tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny?

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia formułując wnioski do zapamiętania.

- Ciąg (aIndeks dolny n_n) jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu oprócz wyrazu pierwszego (i ewentualnie ostatniego), jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego.

- Ciąg arytmetyczny o różnicy r jest ciągiem:

- rosnącym, jeżeli różnica r jest dodatnia,
- malejącym, jeżeli różnica r jest ujemna,
- stałym, jeżeli różnica r jest równa zeru.