Temat

Wzajemne położenie prostej i okręgu. Twierdzenie o odcinkach stycznych

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.

Cele szczegółowe

1. Stosowanie twierdzenia o odcinkach stycznych do rozwiązywania zadań, w tym zadań na dowodzenie.

2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- stosuje twierdzenie o odcinkach stycznych do rozwiązywania zadań, w tym zadań na dowodzenie;

- przeprowadza dowody geometryczne z wykorzystaniem cech podobieństwa trójkątów.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji poznają twierdzenie o stycznych do okręgu i będą go stosować do rozwiązywania zadań geometrycznych.

Uczniowie pracują w parach, korzystając z komputerów, porządkują swoją wiedzę o wzajemnym położeniu prostej i okręgu.

Realizacja lekcji

Polecenie
Otwórz Aplet geogebry: „Wzajemne położenie prostej i okręgu”. Zmieniaj położenie prostej względem okręgu i rozpatrz kolejno sytuacje: gdy prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem, ma jeden punkt wspólny, ma dwa punkty wspólne. Swoje obserwacje wpisz do tabeli.

[Geogebra aplet]

Podsumowaniem części wprowadzającej jest poniższe zestawienie, które przygotowują uczniowie.

Wnioski:

Uczniowie pracują w grupach, przeprowadzając dowody twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu. Każda z grup otrzymuje kartę pracy z poleceniem, rysunkiem pomocniczym oraz stwierdzeniami do wykorzystania.

Karta pracy.

Polecenie
Poprowadzono styczne do okręgu o środku S i promieniu r w punktach B i C. Styczne te przecinają się się w punkcie A. Wykaż, że |AB| = |AC|.

[Ilustracja 1]

Wybierz spośród wymienionych te stwierdzenia, które wykorzystasz w dowodzie:
1. Dwusieczna kąta jest miejscem geometrycznym punktów równoodalonych od ramion kąta.

2. Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta (cecha bkb).

3. W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.

Promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności.

Grupy prezentują przygotowane dowody twierdzenia. Nauczyciel dba o to, by zostały przedstawione dwa dowody: wykorzystujący przystawanie trójkątów oraz wykorzystujący twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie – o odcinkach stycznych do okręgu.

- Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych od okręgu z danego punktu zewnętrznego, wyznaczone przez ten punkt i odpowiednie punkty styczności są równe.

Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenie, następnie prezentują rozwiązania i wyjaśniają wątpliwości.

Polecenie
Poprowadzono styczne do okręgu o środku S i promieniu r w punktach B i C. Styczne te przecinają się się w punkcie A. W okręgu poprowadzono średnice BD. Wykaż, że odcinek CD jest równoległy do odcinka AS.

Polecenie
Dany jest trójkąt EOD. Okrąg jest styczny do odcinka DE oraz do przedłużeń boków OD i OE. Niech B będzie punktem styczności okręgu z prostą OE. Udowodnij, że połowa obwodu trójkąta EOD jest równa długości odcinka OB.

[Ilustracja 2]

Polecenie dla chętnych:
Do okręgu o środku $S$ poprowadzono styczne w punktach $A$ i $B$. Styczne te przecinają się w punkcie $C$. Odcinki $\mathrm{AB}$ i $\mathrm{SC}$ przecinają się w punkcie $M$. Pokaż, że promień okręgu wyraża się wzorem $r=\frac{\left|BC\right|·\left|BM\right|}{\left|MC\right|}$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Uczniowie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze informacje do zapamiętania.

- Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych od okręgu z danego punktu zewnętrznego, wyznaczone przez ten punkt i odpowiednie punkty styczności są równe.