Temat

Kąty w okręgu

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.

Cele szczegółowe

1. Rozpoznawanie kąta wpisanego i kąta środkowego.

2. Stosowanie podstawowych własności kątów środkowych i wpisanych.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- rozpoznaje kąt wpisany i kąt środkowy,

- stosuje podstawowe własności kątów środkowych i wpisanych.

Metody kształcenia

1. Obserwacja.

2. Burza mózgów.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą rozważać kąty w okręgu i ich własności.

Polecenie
Nauczyciel prosi uczniów, by narysowali okrąg i kilka kątów, których wierzchołki leżą na okręgu lub na części płaszczyzny ograniczonej tym okręgiem. Następnie uczniowie zastanawiają się w parach, w jaki sposób można byłoby dokonać klasyfikacji tych kątów, na przykład ze względu na położenie wierzchołka kąta.

Podsumowaniem burzy mózgów powinno być wprowadzenie definicji kąta wpisanego oraz kąta środkowego.

Realizacja lekcji

Definicja kąta środkowego.

- Kątem środkowym okręgu nazywamy kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu.

[Ilustracja 1]

Kąt ASC oparty jest na łuku AC. Łuk AC zawarty jest we wnętrzu kąta ASC.

Punkty A i C dzielą okrąg na dwa łuki. Łukiem AC danego okręgu nazwiemy fragment tego okręgu biegnący od punktu A do punktu C w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Łuki AC i CA to dwa różne łuki.

Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenia, które są następnie wspólnie omawiane i dyskutowane.

Polecenie
- Kąt środkowy ASC oparty na łuku AC ma miarę $\alpha$. Podaj miarę kąta środkowego opartego na łuku CA.
- Jaka może być największa miara kąta środkowego?
- Kąt środkowy oparty jest na łuku, którego długość jest równa $\frac{1}{9}$ długości okręgu. Jaka jest miara tego kąta?

Polecenie dla chętnych:
Niech n będzie liczbą naturalną dodatnią. Jaka jest miara kąta środkowego opartego na łuku, którego długość jest równa $\frac{1}{n}$ długości okręgu?

Definicja kąta wpisanego.

- Kątem wpisanym w okrąg nazywamy kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a jego ramionami są półproste zawierające dwie cięciwy tego okręgu.

[Ilustracja 2]

Kąt ABC oparty jest na łuku AC. Łuk AC zawarty jest we wnętrzu kąta ABC. Wierzchołek B tego kąta nie leży na łuku AC.

Uczniowie pracują indywidualnie lub w parach, korzystając z komputerów. Obserwują, jak zmienia się miara kąta wpisanego w zależności od długości łuku, na którym jest oparty ten kąt. Zapisują wnioski.

Polecenie
Zmieniaj położenie punktu na okręgu i obserwuj jak zmienia się miara kąta wpisanego. Zapisz wnioski z obserwacji.

[Geogebra aplet]

Wniosek:

- Im dłuższy łuk, tym większa jest miara kąta wpisanego.

- Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.

Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenie, które następnie wspólnie omawiają.

Polecenie
W okrąg wpisano kwadrat ABCD. Na łuku jakiej długości oparty jest kąt wpisany ABC?

Uogólnij obserwację, pamiętając, że kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.

Wniosek:

- Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.

Własność kąta opartego na półokręgu można sformułować inaczej. Trójkąt wpisany w okrąg, którego jeden bok jest średnicą okręgu jest trójkątem prostokątnym. Średnica okręgu jest przeciwprostokątną tego trójkąta.

Polecenie
Zaznacz łuki, na których oparte są kąty ASC i ABC.

[Ilustracja 3]

Polecenie dla chętnych:
W sześciokącie foremnym ABCDEF kąt ACF między przekątnymi AC i CF ma miarę 30°. Jaka jest miara kąta CFD między przekątnymi CF i DF?

Wskazówka:
Wpisz sześciokąt w okrąg i rozpatrz kąty ACF i CFD jako kąty wpisane w okrąg.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia podsumowujące.

Uczniowie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze definicje i zależności do zapamiętania.

- Kątem środkowym okręgu nazywamy kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu.

- Kątem wpisanym w okrąg nazywamy kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a jego ramionami są półproste zawierające dwie cięciwy tego okręgu.

- Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.

- Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.