Temat

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje.

Zakres podstawowy. Uczeń:

4. Odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;

7. Szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;

8. Interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje).

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej na podstawie danego jej wzoru oraz odczytywanie miejsc zerowych z wykresu funkcji.

2. Określanie liczby miejsc zerowych funkcji na podstawie wyróżnika trójmianu kwadratowego, obliczanie miejsc zerowych (o ile istnieją).

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:
- szkicuje wykresy funkcji kwadratowej na podstawie danego jej wzoru oraz odczytuje miejsca zerowe z wykresu funkcji,
- określa liczbę miejsc zerowych funkcji na podstawie wyróżnika trójmianu kwadratowego, oblicza miejsca zerowe (o ile istnieją).

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. JIGSAW.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca z całą klasą.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie przypominają pojęcia: miejsca zerowego funkcji, funkcji kwadratowej oraz wyróżnika trójmianu kwadratowego.
- miejsce zerowe funkcji to taki jej argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. Graficznie jest to punkt przecięcia się wykresu z osią OX,
- funkcja kwadratowa, to funkcja określona wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, gdzie a, b, c to liczby rzeczywiste i a jest liczbą różna od zera. Wykresem tej funkcji jest parabola,
- wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy liczbę oznaczoną symbolem $∆$, taką że $∆=b^2-4ac$.

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują metodą układanki JIGSAW.

Nauczyciel dzieli uczniów na grupy 3 osobowe. Każdy uczestnik grupy otrzymuje inne zadanie do rozwiązania z podanych poniżej. Po rozwiązaniu zadania, uczniowie spotykają się w grupach, które rozwiązywały to samo zadanie. Omawiają rozwiązania, wyjaśniają wątpliwości.

Następnie wracają do początkowych grup i przedstawiają rozwiązania innym członkom grupy. Dyskutują nad zależnością pomiędzy wartością wyróżnika trójmianu kwadratowego a liczbą miejsc zerowych.

Polecenie 1

1. Naszkicuj wykresy funkcji:

a) $f\left(x\right)=(x+1{)}^2-4$

b) $f\left(x\right)=x^2+x-6$

(Wskazówka: zapisz wzór w postaci kanonicznej)

2. Podaj liczbę ich miejsc zerowych.

3. Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego.

Polecenie 2

1. Naszkicuj wykresy funkcji:

a) $f\left(x\right)=(x-1{)}^2$

b) $f\left(x\right)=x^2+6x+9$

(Wskazówka: zapisz wzór w postaci kanonicznej)

2. Podaj liczbę ich miejsc zerowych.

3. Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego.

Polecenie 3

1. Naszkicuj wykresy funkcji:

a) $f\left(x\right)=(x+2{)}^2+3$

b) $f\left(x\right)=x^2+2x+3$

(Wskazówka: zapisz wzór w postaci kanonicznej)

2. Podaj liczbę ich miejsc zerowych.

3. Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego.

Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Po wykonanym ćwiczeniu uczniowie zapisują odpowiedni wniosek.

Wnioski:

Funkcja kwadratowa określona wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$:

- ma dwa różne miejsca zerowe rzeczywiste xIndeks dolny 1₁ i xIndeks dolny 2₂ wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik $∆$ jest dodatni. Wtedy wzór funkcji możemy zapisać w postaci iloczynowej:

gdzie: $x_1=\frac{-b-\surd ∆}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\surd ∆}{2a}$,

- ma dokładnie jedno miejsce zerowe x wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik $∆$ jest równy zero. Wtedy wzór funkcji możemy zapisać w postaci iloczynowej :

gdzie: $x_0=\frac{-b}{2a}$,

- nie ma pierwiastków rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik $∆$ jest ujemny. Wtedy wzoru funkcji f nie można zapisać w postaci iloczynowej.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest zastosowanie nabytych wiadomości przy określaniu liczby miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

[Geogebra aplet]

Polecenie dla chętnych:

Dana jest funkcja kwadratowa $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}(x+6)(x-26).$ Podaj postać kanoniczną tej funkcji.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania.

- miejsce zerowe funkcji to taki jej argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. Graficznie jest to punkt przecięcia wykresu z osią OX,
- funkcja kwadratowa, to funkcja określona wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, gdzie a, b, c to liczby rzeczywiste i a jest liczbą różna od zera. Wykresem tej funkcji jest parabola,
- wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy liczbę oznaczoną symbolem $∆$, taką że $∆=b^2-4ac$,

Funkcja kwadratowa określona wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$:
- ma dwa różne miejsca zerowe rzeczywiste xIndeks dolny 1₁ i xIndeks dolny 2₂ wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik $∆$ jest dodatni.  Wtedy wzór funkcji możemy zapisać w postaci iloczynowej:

gdzie: $x_1=\frac{-b-\surd ∆}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\surd ∆}{2a}$,

- ma dokładnie jedno miejsce zerowe x wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik $∆$ jest równy zero. Wtedy wzór funkcji możemy zapisać w postaci iloczynowej:

gdzie: $x_0=\frac{-b}{2a}$,

- nie ma pierwiastków rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik $∆$ jest ujemny. Wtedy wzoru funkcji f nie można zapisać w postaci iloczynowej.