Temat

Przekątne wielokąta

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:
4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie pojęcia i własności przekątnych w wielokącie.

3. Poznanie twierdzenia o przekątnych.

Efekty uczenia

Uczeń:

- poznaje pojęcie i własności przekątnych w wielokącie,

- korzysta z twierdzenia o przekątnych.

Metody kształcenia

1. Otwarte ucho.

2. Analiza sytuacyjna.

3. Dyskusja problemowa.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, metodą „otwarte ucho” powtarzają poznane wcześniej wiadomości na temat rodzajów i własności  wielokątów.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie pojęcia i własności przekątnej w wielokącie.

Uczniowie rysują odcinki w wielokącie, których końcami są wierzchołki tych wielokątów. Wskazują te, które nie są bokami wielokątów. Nauczyciel informuje, że te odcinki to przekątne.

Definicja

Przekątną wielokąta nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki i niebędący bokiem.

Dyskusja – czy każdy wielokąt posiada przekątne? Ile co najmniej wierzchołków musi mieć wielokąt, aby posiadał przekątne? Uczniowie stawiają hipotezy, sprawdzają je i formułują wniosek.

Wniosek

Wielokątem o najmniejszej liczbie boków, który posiada przekątne jest czworokąt.

Uczniowie zastanawiają się wspólnie ile przekątnych można poprowadzić z jednego wierzchołka 10‑kąta, 100‑kąta, n‑kąta.

Wniosek

Z jednego wierzchołka wielokąta można poprowadzić $(n-3)$ przekątne.

Uczniowie, pracując w grupach, wyznaczają liczbę przekątnych dowolnego wielokąta. Stawiają hipotezy. Formułują wnioski.

[Ilustracja interaktywna]

Wzór, który powinni wyprowadzić uczniowie.

Liczba przekątnych w n‑kącie $(n\in N,n>3)$ wyraża się wzorem $\frac{n(n-3)}{2}$.

Korzystając z nowych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie 1
Wyznacz liczbę przekątnych:

a. dwunastokąta,

b. dwudziestokąta,

c. 100- kąta.

Odp. a) 54, b) 170, c)4850.

Polecenie 2
W jakim wielokącie liczba przekątnych jest:

a. równa liczbie boków,

b. pięć razy większa od liczby boków,

c. piętnaście razy większa od liczby boków.

Odp. a. w pięciokącie, b. w trzynastokącie, c. w 33‑kącie.

Polecenie 3
Różnica liczby boków dwóch wielokątów jest równa 1, a różnica liczby przekątnych jest równa 12.

Jakie to wielokąty?

Odp. trzynastokąt i czternastokąt.

Polecenie 4
Na przyjęciu spotkało się 25 osób. Ile nastąpiło powitań, jeśli każda osoba przywitała się z każdą inną osobą?

Odp. 300.

Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki. Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wszystkie wątpliwości.

Polecenie dla chętnych
Na brzegu jeziora mieszkało 10 rybaków. Mroźną zimą, gruba tafla lodu pokryła jezioro, rybacy, odwiedzając się nawzajem, wydeptali ścieżki tak, że domy dowolnych dwóch rybaków były połączone ścieżką. Ile było ścieżek?

Odp. 45.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.

- Przekątną wielokąta nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki i niebędący bokiem.

- Wielokątem o najmniejszej liczbie boków, który posiada przekątne jest czworokąt.

- Liczba przekątnych w n‑kącie $(n\in N,n>3)$ wyraża się wzorem $\frac{n(n-3)}{2}$.