Temat

Punkty, proste i płaszczyzny w przestrzeni

Etap edukacyjny

trzeci

Podstawa programowa

X. Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;

2) posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Rysowanie  prostych w przestrzeni, zgodnie z podanymi w zadaniu warunkami.

2. Rozwiązywanie zadań wykorzystujących pojęcie kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęcie kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

uczeń:

- rysuje  proste w przestrzeni, zgodnie z podanymi w zadaniu warunkami,

- rozwiązuje zadania wykorzystujące pojęcie kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęcie kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Stacje zadaniowe.

Formy pracy

1. Praca z całą klasą.

2. Praca w grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie przypominają omawiane na ostatniej lekcji, informacje o punktach, prostych i płaszczyznach w przestrzeni. Oglądają plakaty wykonane przez siebie na ostatniej lekcji.

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Otwierają SLIDESHOW i obserwują rysunki obrazujące zależności między prostymi i płaszczyznami w przestrzeni.

[Slideshow]

Nauczyciel dzieli uczniów na cztery grupy. Uczniowie, pracując w grupach, rozwiązują zadania zamieszczone w  kolejnych stacjach zadaniowych. Za prawidłowe rozwiązanie zadań otrzymują punkty. Grupa, która uzyskała najwięcej punktów otrzymuje oceny z aktywności.

Stacja I - Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny.
Dany jest równoległobok ABCD o przekątnych przecinających się w punkcie P oraz punkt S nienależący do płaszczyzny ABCD. Ponadto wiadomo, że odcinki AS i SC oraz SD i SB są odpowiednio sobie równe.

Określcie położenie odcinka PS względem płaszczyzny ABCD. Odpowiedź uzasadnijcie.

Stacja II - Wzajemne położenie prostych w przestrzeni.
Narysujcie sześcian ABCDEFGH. Uzupełnijcie tabelkę, wpisując w podane kolumny po cztery przykłady odpowiednich prostych, wyznaczonych przez wierzchołki tego sześcianu.

Stacja III - Kąty między prostą a płaszczyzną.
Dany jest odcinek AB leżący na płaszczyźnie p oraz punkt C leżący w odległości od płaszczyzny p równej długości odcinka AB. Wyznacz miarę kąta między prostą AC oraz płaszczyzną p, jeśli środek odcinka AB jest rzutem prostokątnym punktu C na płaszczyznę p.

Stacja IV - Kąt dwuścienny między półpłaszczyznami.
Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy w narysowanym ostrosłupie, wiedząc, że wszystkie krawędzie ostrosłupa są równe.

[Ilustracja 1]

Nauczyciel podsumowuje i ocenia pracę grup, wyjaśnia wątpliwości.

Zadanie dla chętnych
Odcinek o długości a jest nachylony do płaszczyzny p pod kątem 60°. Oblicz długość rzutu prostokątnego tego odcinka na płaszczyznę p.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując informacje do zapamiętania :

- W przestrzeni prosta może leżeć na płaszczyźnie, przebijać ją lub nie mieć z nią punktów wspólnych.
- Dwie proste w przestrzeni mogą się pokrywać, leżeć w jednej płaszczyźnie lub nie leżeć w jednej płaszczyźnie i nie mieć punktów wspólnych (są skośne).
- Prosta k i płaszczyzna p są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy prosta k jest prostopadła do każdej prostej leżącej na płaszczyźnie p .
- Kątem nachylenia prostej k do płaszczyzny p nazywamy kąt ostry między tą prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę p.
- Jeśli prosta l przebija płaszczyznę p i nie jest do niej prostopadła, prosta k jest rzutem prostokątnym prostej l na płaszczyznę p, prosta m leży na płaszczyźnie p i przecina prostą l, to prosta m jest prostopadła do prostej l wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej k (twierdzenie o trzech prostych prostopadłych).
- Kątem dwuściennym nazywamy sumę dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.
- Kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy część wspólną kąta dwuściennego i płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi.