Temat

Obliczanie wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

II. Pierwiastki. Uczeń:

1) oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.

Cele szczegółowe

1. Obliczanie wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych.

2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Konkurs tematyczny.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie przypominają pojęcie liczby wymiernej, definicję pierwiastka kwadratowego, definicję pierwiastka sześciennego oraz metodę rozkładu liczby na czynniki pierwsze.

Realizacja lekcji

Uczniowie analizują przykłady obliczania wartości pierwiastka kwadratowego oraz sześciennego. Następnie w podobny sposób samodzielnie wykonują obliczenia.

Przykład:

Obliczymy $\sqrt{576}.$

W tym celu wykorzystamy rozkład liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze.

[Ilustracja 1]

A zatem $\sqrt{576}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3}=\sqrt{2^2\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 3^2}=\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{2^2}\cdot \sqrt{2^2}\cdot \sqrt{3^2}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3=24$.

Czyli $\sqrt{576}=24.$

Przykład:

Obliczymy $\sqrt[3]{3375}$.

W tym celu wykorzystamy rozkład liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze.

[Ilustracja 2]

A zatem $\sqrt[3]{3375}=\sqrt[3]{3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 5}=\sqrt[3]{3^3\cdot 5^3}=\sqrt[3]{3^3}\cdot \sqrt[3]{5^3}=3\cdot 5=15$.

Czyli $\sqrt[3]{3375}=15.$

Polecenie
Oblicz.

a) $\sqrt{676}$

b) $\sqrt{1024}$

Polecenie
Oblicz.

a) $\sqrt[3]{1728}$

b) $\sqrt[3]{5832}$

Dyskusja – czy $\sqrt[3]{-8}$ przyjmuje taką samą wartość jak $-\sqrt[3]{8}$?

Uczniowie sprawdzają swoje przypuszczenia, podając odpowiednie przykłady.

Wniosek:

Dla dowolnej liczby a zachodzi równość $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}.$

Uczniowie w parach rozwiązują zadania „na czas”.

Para, która jako pierwsza rozwiąże poprawnie zadania, otrzymuje dwa „plusy”.

Polecenie
W wolne miejsce wstaw odpowiedni znak <, >, =.

a) $\sqrt{64}...\sqrt[3]{64}$

b) $\sqrt{36}...\sqrt{49}$

c) $\sqrt{4}...\sqrt[3]{8}$

d) $-\sqrt{36}...-\sqrt[3]{-216}$

e) $\sqrt[3]{-1000}...-\sqrt[3]{-512}$

Polecenie
Oblicz wartość podanego wyrażenia.

a) $\sqrt{36+48}$

b) $\sqrt{169}-\sqrt{121}$

c) $\sqrt[3]{8}+\sqrt{49}$

d) $\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{-1000}$

e) $\sqrt[3]{\frac{1}{216}}+\sqrt{\frac{1}{36}}-\sqrt[3]{-216}+\sqrt{36}$

f) $\sqrt{5\frac{4}{9}}·\frac{\sqrt{81}}{7}$

Polecenie
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest zaobserwowanie, wartości których pierwiastków kwadratowych wyrażają się liczbami wymiernymi.

[Geogebra aplet]

Polecenie
Wskaż, która z podanych liczb nie jest liczbą wymierną.

$\sqrt{1\frac{7}{9}},\sqrt[3]{-1331},\sqrt{8},\sqrt{196}.$

Polecenie dla chętnych:
Podaj przykład liczby $x$, dla której wartość wyrażenia $\sqrt{x^2+48}$ jest liczbą wymierną.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wniosek do zapamiętania.

- Dla dowolnej liczby a zachodzi równość $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}.$