Temat

Monotoniczność funkcji

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje. Uczeń:

4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Określanie monotoniczności funkcji.

2. Rozpoznawanie i rysowanie wykresów funkcji monotonicznych.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- określa monotoniczność funkcji,

- rozpoznaje i rysuje wykresy funkcji monotonicznych.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Odwrócona klasa.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą określać monotoniczność funkcji oraz rozpoznawać i rysować wykresy funkcji monotonicznych.

Uczniowie w domu w dostępnych źródłach wiedzy poszukują informacji o monotoniczności funkcji - dowiadują się jakie ma własności funkcja monotoniczna, a jakie niemonotoniczna.

Realizacja lekcji

Metoda odwróconej klasy.

Wybrany przez nauczyciela uczeń prezentuje przygotowane w domu informacje o monotoniczności funkcji.

Definicja funkcji monotonicznej
- Funkcja monotoniczna jest to funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku. Czyli jest to funkcja rosnąca, niemalejąca ( rosnąca lub stała), malejąca lub nierosnąca (malejąca lub stała).

Polecenie
Uczniowie pracują samodzielnie, korzystając z komputera. Zadaniem uczniów jest obserwacja, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji.

[Geogebra aplet]

Uczniowie ustalają definicję funkcji rosnącej.

Definicja funkcji rosnącej
- Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉.
Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 1₁, xIndeks dolny 2₂ ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 1₁ < xIndeks dolny 2₂ spełniony jest warunek
f(xIndeks dolny 1₁) < f(xIndeks dolny 2₂)
to mówimy, że funkcja f jest rosnąca w przedziale 〈a; b〉.

[Ilustracja 1]

Uczniowie wspólnie ustalają, jakie ma własności funkcja malejąca, a jakie stała i zapisują definicje tych funkcji.

Definicja funkcji malejącej
- Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉.
Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 1₁, xIndeks dolny 2₂ ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 1₁ < xIndeks dolny 2₂ spełniony jest warunek
f(xIndeks dolny 1₁) > f(xIndeks dolny 2₂)
to mówimy, że funkcja f jest malejąca w przedziale 〈a; b〉.

Definicja funkcji stałej
- Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉.
Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 1₁, xIndeks dolny 2₂ ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 1₁ < xIndeks dolny 2₂ spełniony jest warunek
f(xIndeks dolny 1₁) = f(xIndeks dolny 2₂)
to mówimy, że funkcja f jest stała w przedziale 〈a; b〉.

Uczniowie wykorzystują zdobyte wiadomości w zadaniach.

Polecenie
Dany jest wykres funkcji a.

[Ilustracja 2]

1. Podaj dziedzinę funkcji a.

2. Podaj a(1), a(2), a(3), a(4), a(5), a(6).

3. Sprawdź, czy dla argumentów 1 i 2 należących do dziedziny funkcji spełniony jest warunek funkcji rosnącej.

4. Czy ta funkcja jest rosnąca? Uzasadnij odpowiedź.

Polecenie
Narysuj trzy dowolne wykresy funkcji malejących, określonych dla takich x, że 
-1 < x < 6.

Polecenie
Narysuj trzy dowolne wykresy funkcji stałych, określonych dla takich x, że -2 ≤ x < 4.

Dyskusja – jaką funkcję nazwiemy monotoniczną przedziałami? Uczniowie analizują problem na podstawie własnych przykładów, np. wykresów funkcji.

Definicja funkcji monotonicznej przedziałami
- Funkcja monotoniczna przedziałami – funkcja, której dziedzinę można podzielić na rozłączne przedziały tak, aby w każdym z nich funkcja była monotoniczna.

Polecenie
Określ maksymalne przedziały monotoniczności funkcji przedstawionej na wykresie.

[Ilustracja 3]

Polecenie dla chętnych: Narysuj przykład dowolnej funkcji niemonotonicznej.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

Definicja funkcji rosnącej
- Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉.
Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 1₁, xIndeks dolny 2₂ ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 1₁ < xIndeks dolny 2₂ spełniony jest warunek
f(xIndeks dolny 1₁) < f(xIndeks dolny 2₂)
to mówimy, że funkcja f jest rosnąca w przedziale 〈a; b〉.

Definicja funkcji malejącej
- Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉.
Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 1₁, xIndeks dolny 2₂ ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 1₁ < xIndeks dolny 2₂ spełniony jest warunek
f(xIndeks dolny 1₁) > f(xIndeks dolny 2₂)
to mówimy, że funkcja f jest malejąca w przedziale 〈a; b〉.

Definicja funkcji stałej
- Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉.
Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 1₁, xIndeks dolny 2₂ ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 1₁ < xIndeks dolny 2₂ spełniony jest warunek
f(xIndeks dolny 1₁) = f(xIndeks dolny 2₂)
to mówimy, że funkcja f jest stała w przedziale 〈a; b〉.

Definicja funkcji monotonicznej
- Funkcja monotoniczna jest to funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku. Czyli jest to funkcja rosnąca, niemalejąca ( rosnąca lub stała), malejąca lub nierosnąca (malejąca lub stała).