Scenariusz

Temat

Pole powierzchni i objętość stożka

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

X. Stereometria. Uczeń:

4) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np.: kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;

6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka, kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Obliczanie pola powierzchni i objętości stożka korzystając z odpowiednich wzorów.

3. Zastosowanie w sytuacjach z życia codziennego.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza pola powierzchni i objętości stożka korzystając z odpowiednich wzorów,

- stosuje wzory na obliczanie pola powierzchni i objętości stożka w sytuacjach z życia codziennego.

Metody kształcenia

1. Niedokończone zdania.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest kształtowanie umiejętności obliczania pól powierzchni i objętości stożków.

Realizacja lekcji

Uczniowie, metodą niedokończonych zdań porządkują znane im wiadomości na temat stożka:

- Stożkiem nazywamy bryłę obrotową powstałą przez obrót trójkąta prostokątnego wokół …

- Kątem rozwarcia stożka nazywamy kąt …

- Tworząca stożka to odcinek łączący …

- Siatka stożka składa się z …

- Powierzchnią boczną stożka jest …

Po skończonej pracy nauczyciel ocenia odpowiedzi uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, analizują rysunek interaktywny przedstawiający wzór na obliczanie pola powierzchni całkowitej stożka. Zapisują odpowiednie zależności.

[Ilustracja interaktywna 1]

Wzór na obliczanie powierzchni stożka:

P_{c} = π \cdot r \cdot l + π \cdot r^{2}

PIndeks dolny c - pole powierzchni całkowitej,

r - promień podstawy stożka,

l - tworząca stożka.

Zdobyte informacje uczniowie wykorzystują do rozwiązania zadania.

Polecenie
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu równym 15 cm i kącie środkowym 130°. Oblicz promień podstawy stożka.
Odp.: $5 \frac{5}{12}$ cm.

Uczniowie pracują w grupach. Każda grupa otrzymuje od nauczyciela naczynie w kształcie walca oraz kilka jednakowych naczyń w kształcie stożków. Stożki i walec mają takie same wysokości i podstawy. Ich zadaniem jest znalezienie zależności między pojemnościami obu naczyń. W tym celu naczynie w kształcie stożka napełniają wodą i sprawdzają ile razy pojemność stożka jest mniejsza od pojemności walca. Stawiają hipotezy. Formułują wniosek.

Wniosek:

Pojemność stożka jest trzykrotnie mniejsza od pojemności walca o takiej samej wysokości i takim samym promieniu podstawy.

Polecenie
Przeanalizuj uważnie materiał przedstawiony na rysunku interaktywnym. Zanotuj odpowiedni wzór.

[Ilustracja interaktywna 2]

Wzór na obliczanie objętości stożka:

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot H

V - objętość stożka,

r - promień podstawy stożka,

H - wysokość stożka.

Korzystając z poznanych informacji uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie
Wycinek koła, w którym kąt środkowy jest prosty, a promień jest równy 8 cm, tworzy powierzchnię boczną pewnego stożka. Oblicz objętość tego stożka oraz sinus kąta nachylenia wysokości tego stożka do tworzącej.
Odp.: $V = \frac{8 \cdot π \sqrt{15}}{3}$ cmIndeks górny 3, $\sin α = \frac{1}{4}$ .

Polecenie
Walec i stożek mają równe wysokości i równe objętości. Promień podstawy walca jest równy r. Oblicz promień podstawy stożka.
Odp.: $r \sqrt{3}$ .

Polecenie
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 cm i 7 cm obracano najpierw wokół krótszej a następnie wokół dłuższej przyprostokątnej. Czy otrzymane stożki mają takie same objętości i takie same pola powierzchni całkowitej? Odpowiedź uzasadnij.
Odp.: Nie.

Polecenie
Namiot ma kształt stożka o promieniu 1 m. Na uszycie namiotu (bez podłogi) zużyto 7,5 mIndeks górny 2 materiału. Oblicz wysokość namiotu, przyjmując, że $π \approx 3$ .
Odp.: 2,3 m.

Polecenie
Jak zmieni się objętość stożka, gdy jego wysokość zmniejszymy 3 krotnie a promień zwiększymy trzykrotnie?
Odp.: Objętość zwiększy się trzykrotnie.

Polecenie dla chętnych
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 8 cm i 6 cm obracano wokół przeciwprostokątnej. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły.
Odp.: $P_{c} = 67, 2 \cdot π$ cmIndeks górny 2, $V = 76, 8 \cdot π$ cmIndeks górny 3.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie formułują wniosek i wzory do zapamiętania.

- Wzór na obliczanie pola powierzchni całkowitej stożka:

P_{c} = π \cdot r \cdot l + π \cdot r^{2}

- Objętość stożka jest trzykrotnie mniejsza od objętości walca o takiej samej wysokości i takim samym promieniu podstawy.

- Wzór na obliczanie objętości stożka:

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot H

The surface area and the volume of the cone

Lesson plan

Temat

Etapy lekcji