Siatki i modele graniastosłupów

Wiele produktów, które można kupić w sklepach, pakuje się do pudełek w kształcie graniastosłupów o prostokątnych podstawach, czyli do prostopadłościanów.

RBAD2emUWuk6Y1
Animacja przedstawia różne rodzaje graniastosłupów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RBAD2emUWuk6Y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia różne rodzaje graniastosłupów.

Oglądając dwie poniższe animacje 3D, przypomnisz sobie, jak wygląda siatka prostopadłościanu i sześcianu. Zastanów się, jak może wyglądać siatka graniastosłupa, w którego podstawie jest sześciokąt. Porównaj swoje przypuszczenia z trzecią animacją 3D.

Zapoznaj się z dwiema poniższymi animacjami 3D, przypomnisz sobie, z czego składa się siatka prostopadłościanu i sześcianu. Zastanów się, jak może wyglądać siatka graniastosłupa, w którego podstawie jest sześciokąt. Porównaj swoje przypuszczenia z trzecią animacją 3D.

RkNr7W0W9ezEX
Animacja 3D pokazuje kolumny. Kreślone są krawędzie jednej kolumny – powstaje prostopadłościan. Dwa jednakowe prostopadłościany rozkładają się na dwie różne siatki prostopadłościanu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RkNr7W0W9ezEX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja 3D pokazuje kolumny. Kreślone są krawędzie jednej kolumny – powstaje prostopadłościan. Dwa jednakowe prostopadłościany rozkładają się na dwie różne siatki prostopadłościanu.

R1Ms7p31L1p5x
Animacja 3D pokazuje leżące na stole kostki do gry. Kreślone są krawędzie jednej kostki – powstaje sześcian. Dwa jednakowe sześciany rozkładają się na dwie różne siatki sześcianu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1Ms7p31L1p5x

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja 3D pokazuje leżące na stole kostki do gry. Kreślone są krawędzie jednej kostki – powstaje sześcian. Dwa jednakowe sześciany rozkładają się na dwie różne siatki sześcianu.

Rho1KoVa44r9T
Animacja 3D pokazuje nakrętki na śruby. Kreślone są krawędzie jednej nakrętki – powstaje graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego. Dwa jednakowe graniastosłupy rozkładają się na dwie różne siatki graniastosłupa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/Rho1KoVa44r9T

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja 3D pokazuje nakrętki na śruby. Kreślone są krawędzie jednej nakrętki – powstaje graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego. Dwa jednakowe graniastosłupy rozkładają się na dwie różne siatki graniastosłupa.

Ważne!

Siatka graniastosłupa to figura, która składa się ze wszystkich ścian tego graniastosłupa położonych w taki sposób, że można złożyć z nich graniastosłup.

1
Ćwiczenie 1

Narysuj siatkę graniastosłupa prostego, którego wysokość wynosi 2 cm, a podstawami są

  1. trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm,

  2. romby o przekątnych długości 6 cm i 8 cm,

  3. równoległoboki o bokach długości 3 cm i 2 cm.

R9Qj1eSpwmITU
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 1

Wyobraź sobie siatkę graniastosłupa prostego, którego wysokość wynosi 2 cm, a podstawami są

  1. trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm,

  2. romby o przekątnych długości 6 cm i 8 cm,

  3. prostokąty o bokach długości 3 cm i 2 cm.

Oblicz pole powierzchni siatki każdego z tych graniastosłupów.

R14A4mgwDgEdj
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Polecenie 1

Wydrukuj kartę z rysunkami figur. Wytnij wszystkie figury.

Naklej je na kartki w taki sposób, aby powstały siatki trzech różnych graniastosłupów prostych. Wytnij siatki, pamiętając o pozostawieniu zakładek, które będziesz smarować klejem. Sklej modele graniastosłupów.

R1dyn18q6mjQq
Rysunek składający się z osiemnastu figur: dwóch trójkątów, dwóch kwadratów, dwóch pięciokątów i dwunastu identycznych prostokątów. Boki sześciu figur i krótsze boki prostokątów mają taką samą długość.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RnlCgxmhUbsp91
Daniel jest stolarzem i będzie zbijał dla klienta meble o prostej, minimalistycznej konstrukcji. Klient zażyczył sobie między innymi komodę z sześcioma szufladami, po dwie na każdym poziomie. Szuflady zajmą całą objętość komody. Jakie wymiary powinny mieć szuflady przy określonych wymiarach komody? Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie wartości. Komoda ma wysokość 90 centymetrów, szerokość 81 centymetrów i jest głęboka na 48 centymetrów. Grubość wykorzystanego drewna wynosi 2 centymetry. Zatem, chcąc wypełnić ją sześcioma szufladami, zauważymy, że każda szuflada powinna być graniastosłupem o wysokości 90:3-5·2=30-10=20, czyli wysokość mebla dzielimy na trzy szuflady. Odejmujemy następnie pięciokrotną grubość materiału, ponieważ jest to grubość blatu i dna komody oraz dna każdej z trzech szuflad. Analogicznie przeprowadzamy obliczenia dla szerokości i głębokości mebla. Szerokość: Tu uzupełnij:3-Tu uzupełnij·2=27-Tu uzupełnij=Tu uzupełnij oraz głębokość: Tu uzupełnij:3-Tu uzupełnij·2=16-Tu uzupełnij=Tu uzupełnij. Podaj wymiary w kolejności malejącej: szuflady będą graniastosłupami prostymi o wymiarach Tu uzupełnij na Tu uzupełnij na Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 2
RqQmBxN9ybhgs
Określ w każdym z graniastosłupów liczbę ścian, wierzchołków i krawędzi. Uzupełnij tabelę. Możesz posłużyć się sklejonymi przez siebie modelami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HWwffwb5uTT1
Ćwiczenie 2
Wyobraź sobie, jak wygląda siatka graniastosłupa prostego trójkątnego, czworokątnego i pięciokątnego, a następnie uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami. Graniastosłup prosty trójkątny ma Tu uzupełnij ścian, Tu uzupełnij krawędzi i Tu uzupełnij wierzchołków.Graniastosłup prosty czworokątny ma Tu uzupełnij ścian, Tu uzupełnij krawędzi i Tu uzupełnij wierzchołków.Graniastosłup prosty pięciokątny ma Tu uzupełnij ścian, Tu uzupełnij krawędzi i Tu uzupełnij wierzchołków.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Polecenie 2

Wydrukuj kartę z figurami. Wytnij wszystkie figury.

Naklej je na kartki w taki sposób, aby powstały siatki różnych graniastosłupów. Możesz sprawdzić, czy otrzymana figura jest siatką graniastosłupa. Wystarczy ją wyciąć bez zakładek i złożyć model.

RemlYAfkyTDvK
Rysunek składający się z osiemnastu figur: dwóch trójkątów, dwóch czworokątów, dwóch pięciokątów i dwunastu prostokątów (siedmiu mniejszych i pięciu większych).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPuvKyYDlmMSs2
Pogrupuj figury płaskie w taki sposób, aby można z nich było z nich utworzyć wymienione poniżej bryły. Ile figur potrzebujesz w każdym przypadku? Uzupełnij tekst rodzajami figur płaskich i potrzebną ich liczbą, wybierając odpowiednie propozycje z listy rozwijalnej. Zwróć uwagę, że możesz utworzyć różne warianty brył. Bryła: graniastosłup prawidłowy trójkątny
Ściana: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Ilość ścian: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Podstawa: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Ilość podstaw: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Bryła: graniastosłup prawidłowy czworokątny
Ściana: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Ilość ścian: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Podstawa: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Ilość podstaw: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Bryła: graniastosłup prawidłowy pięciokątny
Ściana: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Ilość ścian: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Podstawa: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Ilość podstaw: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Bryła: graniastosłup prawidłowy siedmiokątny
Ściana: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Ilość ścian: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Podstawa: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Ilość podstaw: 1. prostokąt o wymiarach 5×2, 2. 7, 3. prostokąt o wymiarach 3×10, 4. prostokąt o wymiarach 1×2, 5. prostokąt o wymiarach 5×4, 6. 2, 7. kwadrat o boku trójkąt równoboczny o boku równym 4 @@ kwadrat o boku równym 5, 8. 2, 9. 3, 10. siedmiokąt foremny o boku równym 3 @@ siedmiokąt foremny o boku równym 10, 11. pięciokąt foremny o boku równym 2 @@ pięciokąt foremny o boku równym 1, 12. 4, 13. 2, 14. 2, 15. 5, 16. trójkąt równoboczny o boku równym 2 @@ trójkąt równoboczny o boku równym 5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 3

Dany jest graniastosłup. Wykonaj poniższe polecenia i uzupełnij odpowiedzi na pytania, wpisując w luki odpowiednie liczby.

  1. Zaprojektuj i wykonaj siatkę graniastosłupa podobnego do graniastosłupa na rysunku.

RtokchSFB68M0
Rysunek bryły w kształcie graniastosłupa sześciokątnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLMTHHNDJYbHf
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1ZXhq7BMHeaP
2. Ile krawędzi, wierzchołków i ścian będzie miał graniastosłup, którego siatkę projektujesz?
Odpowiedź: Ten graniastosłup będzie miał 1. 9, 2. 17, 3. 12, 4. 18, 5. 16, 6. 8, 7. 10 krawędzi, 1. 9, 2. 17, 3. 12, 4. 18, 5. 16, 6. 8, 7. 10 wierzchołków, 1. 9, 2. 17, 3. 12, 4. 18, 5. 16, 6. 8, 7. 10 ścian.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 3

Wyobraź sobie, jak wygląda siatka graniastosłupa sześciokątnego i odpowiedz na pytania.

  1. Ile krawędzi, wierzchołków i ścian będzie miał ten graniastosłup?

  2. Ile zakładek trzeba wykonać, żeby z tej siatki można było skleić model graniastosłupa?

R1Isa0kt8JewG
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1dgXWGJmofWV3
Ćwiczenie 4
Połącz dwie informacje tak, aby tworzyły zdanie prawdziwe. Jeżeli n to liczba boków figury znajdującej się w podstawie, to graniastosłup będzie miał: n+2 Możliwe odpowiedzi: 1. krawędzi, 2. zakładek, 3. ścian, 4. wierzchołków 3n Możliwe odpowiedzi: 1. krawędzi, 2. zakładek, 3. ścian, 4. wierzchołków 2n Możliwe odpowiedzi: 1. krawędzi, 2. zakładek, 3. ścian, 4. wierzchołków 2n-1 Możliwe odpowiedzi: 1. krawędzi, 2. zakładek, 3. ścian, 4. wierzchołków
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 5

Znajdź opakowanie w kształcie graniastosłupa. Rozłóż to opakowanie i sprawdź jak wygląda siatka tego graniastosłupa.

Znajdź opakowanie w kształcie graniastosłupa. Rozłóż to opakowanie i narysuj siatkę tego graniastosłupa.

RwWboxVBf9Bf0
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Znajdź opakowanie w kształcie graniastosłupa. Rozłóż to opakowanie i opisz siatkę tego graniastosłupa.