Spadek swobodny jako przykład ruchu jednostajnie przyspieszonego

R1Hs7kAKLTyxN

Przykładem obrazującym zachowanie ciał pod wpływem stałej, niezrównoważonej siły, jest spadek swobodnyspadek swobodnyspadek swobodny. Zagadnieniem tym zajmowały się najznamienitsze postacie w dziejach nauki. Doświadczyć go możesz podczas pierwszej fazy skoku na bungee lub na początku skoku spadochronowego. Po tej lekcji dowiesz się, dlaczego wszystkie ciała, niezależnie od ich masy i rozmiarów poddane działaniu tylko działaniu siły grawitacji poruszają się tak samo.

R1Oqw7TMkkML0

Kolorowe zdjęcie spadającego liścia od dołu. W tle widać wierzchołki drzew i pogodne niebo. — Spadający liść, gdyby nie opory powietrza, opadałby swobodnie pod wpływem działania siły grawitacji (z przyspieszeniem równym przyspieszeniu grawitacyjnemu)
Źródło: dostępny w internecie: www.unsplash.com, licencja: CC BY 3.0.

Przed przystąpieniem do zapoznania się z tematem, należy znać poniższe zagadnienia

treść drugiej zasady dynamiki Newtona;
opis zachowania się ciał pod wpływem działającej siły, na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona;
wyrażanie wartości działającej siły w niutonach.

Nauczysz się

wskazywać, kiedy ciało spada swobodnie;
rozwiązywać zadania związane ze spadkiem swobodnym;
objaśniać, jaki wpływ na ruch ciał ma ośrodek, który je otacza.

Trochę historii

RXSQylvqdgQBw

Polecenie 1

RCkL8hsc0hifr

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 2

W jaki sposób Salviati przekonał Simplico do swoich racji? Notatki możesz zapisać w polu poniżej.

R1eXHoBzFvj6L

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 3

Podaj dwie jednostki, które pojawiają się w animacji. Jakich wielkości fizycznych dotyczą? Notatki możesz zapisać w polu poniżej.

RuMbEnIJvIgLG

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

Czym zatem jest spadek swobodny?

Po przeanalizowaniu wcześniejszych informacji możemy już na to pytanie odpowiedzieć:

Ze swobodnym spadkiem ciał mamy do czynienia wtedy, gdy działa na nie tylko pole grawitacyjne.

Potwierdzeniem faktu, że ciała spadają swobodnie z tej samej wysokości w takim samym czasie, jest doświadczenie, które wykonał w $1971$ roku David Scott, astronauta, członek załogi Apollo $15$ . Scott puścił na Księżycu, z tej samej wysokości, piórko o masie $0, 03$ kilograma i młotek o masie $1, 32$ kilograma. Spadły jednocześnie.

RnA3JxDp3idlR

Scott puścił na Księżycu, z tej samej wysokości, piórko i młotek - spadły jednocześnie
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ciało spadające swobodnie nie posiada prędkości początkowej. Żeby ją nadać musielibyśmy użyć dodatkowej siły, a wtedy nie możemy powiedzieć, że jest spełniona powyższa definicja spadku swobodnego. Wiesz już z wcześniejszych lekcji, że ciało poddane działaniu tylko jednej siły porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Znasz też już wzory dotyczące tego ruchu.

Drogę możemy policzyć ze wzoru:

s = \frac{a t^{2}}{2}

zaś prędkość ze wzoru:

v_{k} = a t

W tych wzorach już pominęliśmy prędkość początkową ciała.

Dla spadku swobodnego drogę s zastępujemy wysokością, z jakiej spada ciało, a dowolne przyspieszenie grawitacyjnym:

h = \frac{g t^{2}}{2}

Podobnie będzie ze wzorem na prędkość końcową:

v_{k} = g t

Mamy już zatem narzędzia do dalszej pracy.

Przykład 1

Ciało spadało swobodnie na Ziemi przez $2$ sekundy. Z jakiej wysokości spadło?

Rozwiązanie:

W tym prostym zadaniu przyjmujemy, że przyspieszenie, z jakim spada ciało ma stałą wartość $g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}$ . Po podstawieniu danych do powyższego wzoru otrzymujemy:

$h = \frac{9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot {(2 s)}^{2}}{2} = \frac{9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 4 s^{2}}{2} = 19, 62 m$ .

Przykład 2

Załóżmy, że młotek na Księżycu został puszczony przez Scotta z wysokości $1, 2 m$ . Po jakim czasie młotek dotarł do powierzchni Księżyca? Przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu wynosi $1, 6 \frac{m}{s^{2}}$ .

Dane:

$h = 1, 2 m$ ,
$g_{k} = 1, 6 \frac{m}{s^{2}}$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru na wysokość w spadku swobodnym:

$h = \frac{g \cdot t^{2}}{2}$ ,

po przekształceniu otrzymujemy wzór na czas spadku:

$t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ .

Podstawiamy dane liczbowe:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1, 2 m}{1, 6 \frac{m}{s^{2}}}} = 1, 22 s$ .

Przykład 3

Oblicz czas, w jakim piłka spadnie swobodnie z wysokości $5$ metrów, jaką prędkość wtedy osiągnie?

Rozwiązanie:

Po przekształceniu wzoru

$h = \frac{g \cdot t^{2}}{2}$

otzymujemy:

$t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ ,

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 5 m}{9, 81 \frac{m}{s^{2}}}} = 1 s$ .

Znając czas spadku, możemy obliczyć wartość prędkości końcowej:

$v_{k} = g t$ ,

$v_{k} = 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 1 s = 9, 81 \frac{m}{s}$ .

Na kolejnym przykładzie omówmy również problem, który rozwiązał Galileusz. Zadajmy pytanie: czy ciała spadające swobodnie mają zawsze taki sam ciężar? Oczywiście, że nie.

Przykład 4

Porównajmy przyspieszenie, z jakim spadają swobodnie w ziemskim polu grawitacyjnym dwa ciała o masach $m_{1} = 2 kg$ i $m_{2} = 6 kg$ .

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona:

$a = \frac{F}{m}$ .

Dla naszego przykładu na ciała działają siły:

$F_{1} = m_{1} \cdot g$ ,

$F_{2} = m_{2} \cdot g$ ,

podstawiając do wzoru na przyspieszenie otrzymujemy:

$a_{1} = \frac{F_{1}}{m_{1}} = \frac{m_{1} \cdot g}{m_{1}} = g$ ,

$a_{2} = \frac{F_{2}}{m_{2}} = \frac{m_{2} \cdot g}{m_{2}} = g$ .

Jedno i drugie ciało porusza się z takim samym przyspieszeniem.

Spadek swobodny jest przykładem obrazującym drugą zasadę dynamiki Newtona. Na ciało spadające swobodnie działa tylko siła grawitacji. Jest to oczywiście przypadek, o który trudno w warunkach ziemskich. Ziemska atmosfera powoduje, że na ciała spadające z pewnej wysokości działa dodatkowo siła oporu powietrza. Różne ośrodki stawiają spadającym ciałom różny opór, dlatego poruszają się w nich szybciej lub wolniej. Niezależnie od ciężaru, czyli siły działającej na daną masę w polu grawitacyjnym, ciała spadają swobodnie tak samo. Wzory dotyczące ruchu jednostajnie przyspieszonego możemy wykorzystać również do spadku swobodnego. Pamiętajmy jednak, że zakładamy stałą wartość przyspieszenia grawitacyjnego.

Ciekawostka

Loty kosmiczne po wokółziemskiej orbicie zbliżonej do okręgu (np. ISS) można traktować jako szczególny przypadek (niekończącego się) spadku swobodnego, bowiem jedyną siłą, działającą na pojazd, jest przyciąganie grawitacyjne od Ziemi. Mamy wówczas do czynienia ze stanem nieważkości.

Ważne!

Stan nieważkości nie jest brakiem grawitacji, ale wynika z faktu przebywania w spadku swobodnym (stąd też można realizować ten stan np. w specjalnych samolotach „nurkujących” w kierunku Ziemi).

Sprawdź się

R1n3SBX7UNuDa1

Ćwiczenie 1

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

RkIP1v9Ipz8TI1

Ćwiczenie 2

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Oblicz czas spadku swobodnego z wysokości $h = 5 m$ na Marsie i porównaj go z czasem spadku swobodnego na Jowiszu. Wykorzystaj dane zawarte w tabeli.

Planeta	Przyspieszenie grawitacyjne $\frac{m}{s^{2}}$
Merkury	$3, 7$
Wenus	$8, 9$
Ziemia	$9, 8$
Mars	$3, 7$
Jowisz	$24, 8$
Saturn	$10, 4$
Uran	$8, 9$
Neptun	$11, 2$

R1BeJVaSrg5nY

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

Należy skorzystać ze wzoru wyprowadzonego w przykładzie $3$ a następnie porównać czasy spadku dla Marsa i Jowisza.

Korzystamy ze wzoru wyprowadzonego w przykładzie $3$ :

$t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ ,

podstawimy dane liczbowe i otrzymujemy czas spadku na Marsie:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 5 m}{3, 7 \frac{m}{s^{2}}}} = 1, 64 s$ .

Następnie porównujemy czasy spadku dla Marsa i Jowisza:

$\frac{t_{M}}{t_{J}} = \frac{\sqrt{\frac{2 h}{g_{M}}}}{\sqrt{\frac{2 h}{g_{J}}}} = \sqrt{\frac{g_{J}}{g_{M}}}$ .

Po podstawieniu wartości przyspieszeń grawitacyjnych dostajemy:

$\frac{t_{M}}{t_{J}} = \sqrt{\frac{24, 8 \frac{m}{s^{2}}}{3, 7 \frac{m}{s^{2}}}} \approx 2, 6$ .

Czas spadku na Marsie jest $2, 6$ raza dłuższy niż na Jowiszu.

RPnW39sGPLZ1u1

Ćwiczenie 4

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

R1PGEjn4gYju02

Ćwiczenie 5

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

R1dblgcmswRo32

Ćwiczenie 6

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

RcZKLshhfodal

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

RtkjWGUqzRKgs

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Ciało spadło swobodnie z przyspieszeniem $g = 9, 8 \frac{m}{s^{2}}$ . Czas spadku wynosi $5$ sekund. Z jakiej wysokości spadło ciało?

R7bhOoNKHzutg

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.

Korzystamy ze wzoru:

$h = \frac{g t^{2}}{2}$ .

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru $h = \frac{g t^{2}}{2}$ :

$h = \frac{9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot {(5 s)}^{2}}{2} = \frac{9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 25 s^{2}}{2} = 122, 63 m$ .

Ciało spadło z wysokości $122, 63 m$ .

Słownik

spadek swobodny

ruch ciała, podczas którego działa na nie jedynie siła grawitacji

Bibliografia

Sagnowska B., Szot‑Gawlik D., Godlewska M., Rozenbajgier M., Rozenbajgier R., 2017, Świat fizyki, Warszawa, WSiP.

bg‑gray2

Notatki

RvhxP0pqeAsCA

Źródło: Gromar Sp. z o. o., licencja: CC BY 3.0.