Strona główna
Liceum ogólnokształcące i technikum
Matematyka
Twierdzenie o istnieniu granicy funkcji w punkcie
Sprawdź się
Powrót
Galeria zdjęć interaktywnych
Dla nauczyciela
Sprawdź się
1
Pokaż ćwiczenia:
RoNvrfgIbiDKk
1
Ćwiczenie
1
Czy funkcja
f
x
=
x
posiada granicę z punkcie
x
0
=
0
? Możliwe odpowiedzi: 1. Tak., 2. Nie.
RwhWZSYCU6Gfm
1
Ćwiczenie
2
Czy funkcja
f
(
x
)
=
|
x
+
2
|
x
+
2
posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
2
? Możliwe odpowiedzi: 1. Nie., 2. Tak. Posiada granicę równą
1
., 3. Tak. Posiada granicę równą
-1
.
R1E5JPlgr2Av3
1
Ćwiczenie
3
Uzupełnij tekst, przeciągając w puste pola odpowiednie wyrażenia. Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
|
2
x
-
4
|
x
-
2
. Funkcja ta 1. nie ma granicy, 2. ma granicę, 3. takie same, 4. różne w punkcie
x
0
=
2
, ponieważ granice jednostronne tej funkcji w tym punkcie są 1. nie ma granicy, 2. ma granicę, 3. takie same, 4. różne.
Uzupełnij tekst, przeciągając w puste pola odpowiednie wyrażenia. Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
|
2
x
-
4
|
x
-
2
. Funkcja ta 1. nie ma granicy, 2. ma granicę, 3. takie same, 4. różne w punkcie
x
0
=
2
, ponieważ granice jednostronne tej funkcji w tym punkcie są 1. nie ma granicy, 2. ma granicę, 3. takie same, 4. różne.
RF0EfmrbFZ2cG
Ćwiczenie
4
Wskaż funkcje posiadające granicę w punkcie
x
0
=
0
. Możliwe odpowiedzi: 1.
f
x
=
2
x
x
+
1
, 2.
f
x
=
x
2
+
2
x
x
, 3.
f
x
=
x
x
Ry44ZVLPCboDD
2
Ćwiczenie
5
Dana jest funkcja
f
x
=
x
2
-
1
x
-
1
. Wskaż prawdziwe równości. Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
1
+
f
x
=
2
, 2.
lim
x
→
1
-
f
x
=
-2
, 3.
lim
x
→
1
f
x
=
2
, 4.
lim
x
→
1
+
f
x
=
-2
R19j1yFk45oPd
2
Ćwiczenie
6
Uzupełnij tekst, przeciągając w puste pola odpowiednie wyrażenia. Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
x
2
+
3
x
-
4
|
x
+
4
|
. Ponieważ
lim
x
→
-
4
+
f
(
x
)
=
1.
3
, 2.
-
3
, 3. nie ma granicy, 4. ma granicę, 5.
-
3
, 6.
5
, 7.
-
5
, 8.
-
5
oraz
lim
x
→
-
4
-
f
(
x
)
=
1.
3
, 2.
-
3
, 3. nie ma granicy, 4. ma granicę, 5.
-
3
, 6.
5
, 7.
-
5
, 8.
-
5
więc funkcja ta 1.
3
, 2.
-
3
, 3. nie ma granicy, 4. ma granicę, 5.
-
3
, 6.
5
, 7.
-
5
, 8.
-
5
w punkcie
x
0
=
-
4
.
Uzupełnij tekst, przeciągając w puste pola odpowiednie wyrażenia. Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
x
2
+
3
x
-
4
|
x
+
4
|
. Ponieważ
lim
x
→
-
4
+
f
(
x
)
=
1.
3
, 2.
-
3
, 3. nie ma granicy, 4. ma granicę, 5.
-
3
, 6.
5
, 7.
-
5
, 8.
-
5
oraz
lim
x
→
-
4
-
f
(
x
)
=
1.
3
, 2.
-
3
, 3. nie ma granicy, 4. ma granicę, 5.
-
3
, 6.
5
, 7.
-
5
, 8.
-
5
więc funkcja ta 1.
3
, 2.
-
3
, 3. nie ma granicy, 4. ma granicę, 5.
-
3
, 6.
5
, 7.
-
5
, 8.
-
5
w punkcie
x
0
=
-
4
.
2
Ćwiczenie
7
Rr80ZjEPFpIHl
Zaznacz olorem zielonym poprawne fragmenty a kolorem czerwonym błędy w poniższym tekście. Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
<mfenced open="nie ma granicy w punkcie
x
0
=
2
ponieważ
lim
x
→
-
2
+
f
(
x
)
=
-
1
oraz
lim
x
→
-
2
+
f
(
x
)
=
1
.
Zaznacz olorem zielonym poprawne fragmenty a kolorem czerwonym błędy w poniższym tekście. Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
<mfenced open="nie ma granicy w punkcie
x
0
=
2
ponieważ
lim
x
→
-
2
+
f
(
x
)
=
-
1
oraz
lim
x
→
-
2
+
f
(
x
)
=
1
.
RLV0NTddNYWLk
Uzupełnij tekst, wstawiając podane informacje. Dana jest funkcja
f
x
=
f
x
=
3
-
x
2
dla
x
⩾
2
x
-
3
dla
x
<
2
.
Funkcja ta 1.
lim
x
→
2
+
f
x
=
-
1
, 2.
lim
x
→
2
-
f
x
=
1
, 3. nie ma granicy, 4. ma granicę w punkcie
x
0
=
2
, ponieważ 1.
lim
x
→
2
+
f
x
=
-
1
, 2.
lim
x
→
2
-
f
x
=
1
, 3. nie ma granicy, 4. ma granicę.
Uzupełnij tekst, wstawiając podane informacje. Dana jest funkcja
f
x
=
f
x
=
3
-
x
2
dla
x
⩾
2
x
-
3
dla
x
<
2
.
Funkcja ta 1.
lim
x
→
2
+
f
x
=
-
1
, 2.
lim
x
→
2
-
f
x
=
1
, 3. nie ma granicy, 4. ma granicę w punkcie
x
0
=
2
, ponieważ 1.
lim
x
→
2
+
f
x
=
-
1
, 2.
lim
x
→
2
-
f
x
=
1
, 3. nie ma granicy, 4. ma granicę.
Rv2bsu1iPAROR
2
Ćwiczenie
8
Połącz w pary funkcje ze zdaniami dla nich prawdziwymi.
f
(
x
)
=
x
|
x
|
+
1
Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja nie posiada granicy w punkcie
x
0
=
-
1
., 2. Funkcja posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
równą
-
1
2
., 3. Funkcja posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
równą
2
.
f
(
x
)
=
|
x
+
1
|
2
x
+
2
Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja nie posiada granicy w punkcie
x
0
=
-
1
., 2. Funkcja posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
równą
-
1
2
., 3. Funkcja posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
równą
2
.
f
(
x
)
=
x
+
1
dla
x
≤
1
3
-
x
dla
x
>
1
Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja nie posiada granicy w punkcie
x
0
=
-
1
., 2. Funkcja posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
równą
-
1
2
., 3. Funkcja posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
równą
2
.
Połącz w pary funkcje ze zdaniami dla nich prawdziwymi.
f
(
x
)
=
x
|
x
|
+
1
Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja nie posiada granicy w punkcie
x
0
=
-
1
., 2. Funkcja posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
równą
-
1
2
., 3. Funkcja posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
równą
2
.
f
(
x
)
=
|
x
+
1
|
2
x
+
2
Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja nie posiada granicy w punkcie
x
0
=
-
1
., 2. Funkcja posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
równą
-
1
2
., 3. Funkcja posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
równą
2
.
f
(
x
)
=
x
+
1
dla
x
≤
1
3
-
x
dla
x
>
1
Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja nie posiada granicy w punkcie
x
0
=
-
1
., 2. Funkcja posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
równą
-
1
2
., 3. Funkcja posiada granicę w punkcie
x
0
=
-
1
równą
2
.
Rbv8xEV6la6u2
3
Ćwiczenie
9
Przenieś podane funkcje do odpowiednich obszarów. Posiada granicę w punkcie
x
0
=
1
. Możliwe odpowiedzi: 1.
f
x
=
x
-
1
x
+
1
, 2.
f
x
=
x
2
-
x
x
-
1
, 3.
f
x
=
x
2
+
1
dla
x
⩽
1
x
+
3
dla
x
>
1
, 4.
f
x
=
2
-
x
2
dla
x
⩽
1
-
x
dla
x
>
1
, 5.
f
x
=
3
x
-
3
x
-
1
Nie posiada granicy w punkcie
x
0
=
1
. Możliwe odpowiedzi: 1.
f
x
=
x
-
1
x
+
1
, 2.
f
x
=
x
2
-
x
x
-
1
, 3.
f
x
=
x
2
+
1
dla
x
⩽
1
x
+
3
dla
x
>
1
, 4.
f
x
=
2
-
x
2
dla
x
⩽
1
-
x
dla
x
>
1
, 5.
f
x
=
3
x
-
3
x
-
1
Przenieś podane funkcje do odpowiednich obszarów. Posiada granicę w punkcie
x
0
=
1
. Możliwe odpowiedzi: 1.
f
x
=
x
-
1
x
+
1
, 2.
f
x
=
x
2
-
x
x
-
1
, 3.
f
x
=
x
2
+
1
dla
x
⩽
1
x
+
3
dla
x
>
1
, 4.
f
x
=
2
-
x
2
dla
x
⩽
1
-
x
dla
x
>
1
, 5.
f
x
=
3
x
-
3
x
-
1
Nie posiada granicy w punkcie
x
0
=
1
. Możliwe odpowiedzi: 1.
f
x
=
x
-
1
x
+
1
, 2.
f
x
=
x
2
-
x
x
-
1
, 3.
f
x
=
x
2
+
1
dla
x
⩽
1
x
+
3
dla
x
>
1
, 4.
f
x
=
2
-
x
2
dla
x
⩽
1
-
x
dla
x
>
1
, 5.
f
x
=
3
x
-
3
x
-
1