Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1QJnY0SwO6FE1

Ćwiczenie 1

RmTBTvo6kHNjD1

Ćwiczenie 2

RYRHKmJeSEw9Z2

Ćwiczenie 3

RBP3izG066TnY2

Ćwiczenie 4

R1Z0bb6t6oasc2

Ćwiczenie 5

R1BKuVbdtwy1T2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Liczby $a$ , $b$ , $c$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny o wyrazach niezerowych.

Jeżeli do pierwszej z tych liczb dodać $1$ , a ostatnią z tych liczb podzielić przez $2$ , to otrzymane liczby w niezmienionej kolejności utworzą również ciąg geometryczny. Znajdź te liczby, jeżeli wiadomo, że liczba $b$ jest o $3$ większa od liczby $a$ .

$(a, b, c)$ – ciąg geometryczny, czyli $b^{2} = a c$

$(a + 1, b, \frac{c}{2})$ – ciąg geometryczny, stąd $b^{2} = (a + 1) \cdot \frac{c}{2}$

Otrzymujemy równanie:

$a c = (a + 1) \cdot \frac{c}{2}$

Przekształcamy równanie pamiętając, że wyrazy ciągu są różne od zera.

$2 a c = a c + c$

$a c = c | : c$

$a = 1$

Znajdujemy liczbę $b$ .

$b = a + 3 = 1 + 3 = 4$

Wyznaczamy liczbę $c$ .

$b^{2} = a c$

$16 = 1 \cdot c$

$c = 16$

Odpowiedź:

Szukane liczby to: $a = 1$ , $b = 4$ , $c = 16$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że jeśli w ciągu geometrycznym $(a_{n})$ o wyrazach dodatnich średnia geometryczna wyrazów $a_{4}$ i $a_{6}$ jest równa wyrazowi $a_{2}$ , to ciąg ten jest ciągiem stałym.

Na podstawie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, możemy zapisać, że

$\sqrt{a_{4} \cdot a_{6}} = a_{5}$

Z treści zadania wynika, że

$\sqrt{a_{4} \cdot a_{6}} = a_{2}$

Zatem:

$a_{5} = \sqrt{a_{4} \cdot a_{6}} = a_{2}$

Czyli:

$a_{5} = a_{2}$

Oznaczmy:
$q$ – iloraz ciągu.

Wtedy:

$a_{1} \cdot q^{4} = a_{1} \cdot q$

Dzielimy obie strony równania przez $a_{1} q$ (wyrazy ciągu są dodatnie, zatem $a_{1} q \neq 0$ )

$q^{3} = 1 \Rightarrow q = 1$

Jeśli iloraz ciągu geometrycznego jest równy $1$ , to ciąg jest stały, co należało wykazać.

Animacja

Dla nauczyciela