$x$, $y$ – długości boków  prostokąta

$2x+2y=24$

$x+y=12\Rightarrow y=12-x$

$x·y=40$

$x\left(12-x\right)=40$

$12x-x^2=40$

$-x^2+12x-40=0$

$\Delta ={12}^2-4·40=144-160=-16<0$

Nie istnieje prostokąt spełniający warunki zadania.

$c=25$ cm,  $r=3 \mathrm{cm}$

$a$, $b$ – przyprostokątne trójkąta prostokątnego (długości w cm)

$r=\frac{a+b-c}{2}$

$3=\frac{a+b-25}{2}$

$6=a+b-25$

$a+b=31\Rightarrow b=31-a$

Korzystając z twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy:

$a^2+b^2=c^2$

$a^2+{\left(31-a\right)}^2={25}^2$

$a^2+961-62a+a^2=625$

$2a^2-62a+336=0$

$a^2-31a+168=0$

$\Delta ={\left(31\right)}^2-4\cdot 168=961-672=289\Rightarrow \sqrt{\Delta }=17$

$a_1=\frac{31-17}{2}$

$a_1=7\Rightarrow b_1=31-7$

$b_1=24$

$a_2=\frac{31+17}{2}$

$a_2=24\Rightarrow b_2=31-24$

$b_2=7$

$P=\frac{7·24}{2}$

$P=84$

Czyli przyprostokątne trójkąta prostokątnego $ABC$ to $7 \mathrm{cm}$ i $24 \mathrm{cm}$, a pole jest równe $84 {\mathrm{cm}}^2$.