Strona główna
Liceum ogólnokształcące i technikum
Matematyka
Granice jednostronne
Sprawdź się
Powrót
Animacja
Dla nauczyciela
Sprawdź się
1
Pokaż ćwiczenia:
R1RJWX6oy8zJZ
1
Ćwiczenie
1
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
|
x
+
2
|
3
x
+
6
. Wskaż inny sposób na zapisanie wzoru tej funkcji. Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
3
dla
x
>
-
2
-
3
dla
x
<
-
2
, 2.
f
(
x
)
=
1
3
dla
x
>
-
2
-
1
3
dla
x
<
-
2
, 3.
f
(
x
)
=
1
3
dla
x
>
2
-
1
3
dla
x
<
2
, 4.
f
(
x
)
=
3
dla
x
>
2
3
dla
x
<
2
R1RIVBRrxSPoc
1
Ćwiczenie
2
Wskaż granicę lewostronną w punkcie
x
0
=
1
funkcji danej wzorem
f
(
x
)
=
|
x
-
1
|
x
-
1
. Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
1
-
f
(
x
)
=
-
1
, 2.
lim
x
→
1
-
f
(
x
)
=
1
, 3.
lim
x
→
1
-
f
(
x
)
=
0
R1H6DZ87Mfbie
2
Ćwiczenie
3
Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
|
4
x
+
8
|
2
x
+
4
. Wskaz prawidłowe równości. Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
-
2
-
f
(
x
)
=
-
2
, 2.
lim
x
→
-
2
+
f
(
x
)
=
2
, 3.
lim
x
→
-
2
-
f
(
x
)
=
-
4
, 4.
lim
x
→
-
2
+
f
(
x
)
=
4
RGAoWTshMTp61
2
Ćwiczenie
4
Uzupełnij tekst, przeciągając w puste pola odpowiednie wyrażenia. Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
|
4
x
-
2
|
2
x
-
1
. Obliczymy granicę prawostronną funkcji
f
w punkcie
x
0
=
1
2
. Weźmy w tym celu dowolny ciąg argumentów
(
x
n
)
funkcji
f
zbieżny do 1.
f
(
x
n
)
=
-2
, 2.
1
, 3.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
-2
, 4.
-2
, 5.
f
(
x
n
)
=
2
, 6.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
2
, 7.
1
2
, 8.
x
n
∈
1
2
-
δ
,
1
2
, 9.
x
n
∈
1
2
,
1
2
+
δ
oraz taki, że 1.
f
(
x
n
)
=
-2
, 2.
1
, 3.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
-2
, 4.
-2
, 5.
f
(
x
n
)
=
2
, 6.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
2
, 7.
1
2
, 8.
x
n
∈
1
2
-
δ
,
1
2
, 9.
x
n
∈
1
2
,
1
2
+
δ
dla każdego
n
∈
ℕ
. Wówczas 1.
f
(
x
n
)
=
-2
, 2.
1
, 3.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
-2
, 4.
-2
, 5.
f
(
x
n
)
=
2
, 6.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
2
, 7.
1
2
, 8.
x
n
∈
1
2
-
δ
,
1
2
, 9.
x
n
∈
1
2
,
1
2
+
δ
. Zatem 1.
f
(
x
n
)
=
-2
, 2.
1
, 3.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
-2
, 4.
-2
, 5.
f
(
x
n
)
=
2
, 6.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
2
, 7.
1
2
, 8.
x
n
∈
1
2
-
δ
,
1
2
, 9.
x
n
∈
1
2
,
1
2
+
δ
Uzupełnij tekst, przeciągając w puste pola odpowiednie wyrażenia. Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
|
4
x
-
2
|
2
x
-
1
. Obliczymy granicę prawostronną funkcji
f
w punkcie
x
0
=
1
2
. Weźmy w tym celu dowolny ciąg argumentów
(
x
n
)
funkcji
f
zbieżny do 1.
f
(
x
n
)
=
-2
, 2.
1
, 3.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
-2
, 4.
-2
, 5.
f
(
x
n
)
=
2
, 6.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
2
, 7.
1
2
, 8.
x
n
∈
1
2
-
δ
,
1
2
, 9.
x
n
∈
1
2
,
1
2
+
δ
oraz taki, że 1.
f
(
x
n
)
=
-2
, 2.
1
, 3.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
-2
, 4.
-2
, 5.
f
(
x
n
)
=
2
, 6.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
2
, 7.
1
2
, 8.
x
n
∈
1
2
-
δ
,
1
2
, 9.
x
n
∈
1
2
,
1
2
+
δ
dla każdego
n
∈
ℕ
. Wówczas 1.
f
(
x
n
)
=
-2
, 2.
1
, 3.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
-2
, 4.
-2
, 5.
f
(
x
n
)
=
2
, 6.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
2
, 7.
1
2
, 8.
x
n
∈
1
2
-
δ
,
1
2
, 9.
x
n
∈
1
2
,
1
2
+
δ
. Zatem 1.
f
(
x
n
)
=
-2
, 2.
1
, 3.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
-2
, 4.
-2
, 5.
f
(
x
n
)
=
2
, 6.
lim
x
→
1
2
+
f
(
x
)
=
2
, 7.
1
2
, 8.
x
n
∈
1
2
-
δ
,
1
2
, 9.
x
n
∈
1
2
,
1
2
+
δ
RUT6CDiQ2ZLrp
2
Ćwiczenie
5
Połacz w pary funkcje z poprawnymi granicami.
f
(
x
)
=
x
|
x
|
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
1
Połacz w pary funkcje z poprawnymi granicami.
f
(
x
)
=
x
|
x
|
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
1
R14EWPcj3Q2mu
2
Ćwiczenie
6
Czy istnieje granica prawostronna funkcji
f
(
x
)
=
1
-
x
2
w punkcie
x
0
=
1
? Możliwe odpowiedzi: 1. Tak, 2. Nie
R1KeyTZDzl0bD
3
Ćwiczenie
7
Uzupełnij tekst p
Uzupełnij tekst p
RnQAYnHzjTV9I
3
Ćwiczenie
8
Przenieś podane funkcje do odpowiednich obszarów.
lim
x
→
1
+
f
(
x
)
=
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
x
-
1
|
x
-
1
|
, 2.
f
(
x
)
=
x
2
-
x
|
1
-
x
|
, 3.
f
(
x
)
=
1
+
1
-
x
2
, 4.
lim
x
→
1
-
1
-
x
2
-
1
, 5.
f
(
x
)
=
2
x
-
x
2
, 6.
f
(
x
)
=
1
-
x
|
x
-
1
|
lim
x
→
1
-
f
(
x
)
=
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
x
-
1
|
x
-
1
|
, 2.
f
(
x
)
=
x
2
-
x
|
1
-
x
|
, 3.
f
(
x
)
=
1
+
1
-
x
2
, 4.
lim
x
→
1
-
1
-
x
2
-
1
, 5.
f
(
x
)
=
2
x
-
x
2
, 6.
f
(
x
)
=
1
-
x
|
x
-
1
|
lim
x
→
1
-
f
(
x
)
=
-1
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
x
-
1
|
x
-
1
|
, 2.
f
(
x
)
=
x
2
-
x
|
1
-
x
|
, 3.
f
(
x
)
=
1
+
1
-
x
2
, 4.
lim
x
→
1
-
1
-
x
2
-
1
, 5.
f
(
x
)
=
2
x
-
x
2
, 6.
f
(
x
)
=
1
-
x
|
x
-
1
|
Przenieś podane funkcje do odpowiednich obszarów.
lim
x
→
1
+
f
(
x
)
=
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
x
-
1
|
x
-
1
|
, 2.
f
(
x
)
=
x
2
-
x
|
1
-
x
|
, 3.
f
(
x
)
=
1
+
1
-
x
2
, 4.
lim
x
→
1
-
1
-
x
2
-
1
, 5.
f
(
x
)
=
2
x
-
x
2
, 6.
f
(
x
)
=
1
-
x
|
x
-
1
|
lim
x
→
1
-
f
(
x
)
=
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
x
-
1
|
x
-
1
|
, 2.
f
(
x
)
=
x
2
-
x
|
1
-
x
|
, 3.
f
(
x
)
=
1
+
1
-
x
2
, 4.
lim
x
→
1
-
1
-
x
2
-
1
, 5.
f
(
x
)
=
2
x
-
x
2
, 6.
f
(
x
)
=
1
-
x
|
x
-
1
|
lim
x
→
1
-
f
(
x
)
=
-1
Możliwe odpowiedzi: 1.
f
(
x
)
=
x
-
1
|
x
-
1
|
, 2.
f
(
x
)
=
x
2
-
x
|
1
-
x
|
, 3.
f
(
x
)
=
1
+
1
-
x
2
, 4.
lim
x
→
1
-
1
-
x
2
-
1
, 5.
f
(
x
)
=
2
x
-
x
2
, 6.
f
(
x
)
=
1
-
x
|
x
-
1
|