Aby szereg był zbieżny, musi zachodzić warunek:

$\left|x^2-2x\right|<1$

Rozwiązujemy warunek:

$-1<x^2-2x$ i $x^2-2x<1$

$0<{\left(x-1\right)}^2$ i $x^2-2x-1<0$

$x\ne 1$ i $x\in \left(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}\right)$

Dziedziną nierówności jest zbiór: $\left(1-\sqrt{2},1\right)\cup \left(1,1+\sqrt{2}\right)$.

Rozwiązujemy nierówność z zadania:

$\frac{1}{1-x^2+2x}<1$

$1<1-x^2+2x$

$x\left(x-2\right)<0$

$x\in \left(0,2\right)$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy odpowiedź:

$\left(0,1\right)\cup \left(1,2\right)$.

Granica ciągu sum częściowych szeregu geometrycznego jest liczbą rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy

$\left|\frac{1}{x^2+x+1}\right|<1$

$1<x^2+x+1$

$0<x^2+x$

Dziedziną nierówności jest: $\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,\infty \right)$.

Obliczamy granicę i zapisujemy nierówność w postaci:

$\frac{1}{1-\frac{1}{x^2+x+1}}\le -3$

$\frac{x^2+x+1}{x^2+x}\le -3$

$x^2+x+1\le -3\left(x^2+x\right)$

$4x^2+4x+1\le 0$

${\left(2x+1\right)}^2\le 0$

$x=-\frac{1}{2}$

$x=-\frac{1}{2}\notin \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,\infty \right)$

Rozwiązaniem nierówności jest $\varnothing$.