R15uaqOpGFmsc

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, w którym kąt CAB jest równy $\alpha =120°$, bok AB jest równy 6, bok AC jest równy 12, a bok BC jest podpisany literą x.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

Z twierdzenia cosinusów:

$x^2={12}^2+6^2-2·12·6·\cos 120°$

$x^2=144+36+72$

$x^2=252$

$x=6\sqrt{7}$

Z twierdzenia sinusów: $\frac{6\sqrt{7}}{\sin 120°}=2R$, zatem: $R=\frac{6\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}·2}=2\sqrt{21}$.

Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach $12$ i $6$ oraz kącie między nimi o mierze $120°$ wynosi $R=2\sqrt{21}$.

Rozpatrzmy dwa przypadki:

• gdy podany kąt jest kątem przy wierzchołku trójkąta równoramiennego:

  R64QpKmE9xnOJ

  Ilustracja przedstawia trójkąt, w którym każdy z dwóch kątów przy podstawie podpisano literą alfa, a kąt między ramionami ma miarę 70 stopni.

  

  Wówczas miara kąta $\alpha$ wynosi:

  $\alpha =\left(180°-70°\right):2=55°$.

  Zatem trójkąt jest ostrokątny, wobec tego środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz trójkąta.

• gdy podany kąt jest kątem przy podstawie trójkąta równoramiennego:

  RWNzxDCEJKXdq

  Ilustracja przedstawia trójkąt, w którym każdy z dwóch kątów przy podstawie ma miarę 70 stopni, a kąt między ramionami podpisano literą alfa.

  

  Wówczas miara kąta $\alpha$ wynosi:

  $\alpha =180°-2·70°=40°$.

  Zatem trójkąt jest ostrokątny, wobec tego środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz trójkąta.

W rozwiązaniu przyda nam się rysunek pomocniczy.

Skoro krótsza przyprostokątna ma długość $6 \mathrm{cm}$, to leży  naprzeciw kąta o mierze ${30}^0$.

RZBWBFEZq1bcF

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość sześć. Kąt przy tej przyprostokątnej ma miarę 60 stopni, a drugi z kątów ostrych ma miarę 30 stopni.

Potrzebujemy długości przeciwprostokątnej, która jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, zatem przeciwprostokątna jest długości $12 \mathrm{cm}$.

Obliczyć mamy obwód koła, więc skorzystamy z faktu, że $\mathrm{L}=\mathrm{d\pi }$, gdzie $\mathrm{d}$ jest średnicą tego koła.

Przeciwprostokątna trójkąta jest średnicą koła, zatem $d=12 \mathrm{cm}$ i wówczas $L=12\pi cm$.

$L=12\pi \mathrm{cm}$