Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R4QSk80fBHItA1

Ćwiczenie 1

R1ILLotc0MHgL1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Dane są przedziały $A = (- 5; 3⟩$ , $B = ⟨- 7; - 3)$ , $C = (1; 5⟩$ . Rozwiąż test składający się z czterech pytań jednokrotnego wyboru.

REeNFN7PAhXJ2

RVAnr8h5F3p3Q

RinZAXsAPXac6

RHWCjEcv87NkQ

Ćwiczenie 4

Dane są przedziały $A = ⟨- 2; 3)$ , $B = (- 3; 5⟩$ , $C = (- 5; 2⟩$ . Wyznacz zbiory:
a) $(A \cup B) \cap C$
b) $(A \cap B) \cup C$
c) $A \cup (B \cap C)$
d) $A \cap (B \cup C)$

Zacznijmy od zilustrowania przedziałów na osi liczbowej:

RVzhNU0GAM56y

Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu. Na osi zaznaczone są następujące przedziały: Przedział lewostronnie domknięty A=⟨-2, 3). Przedział prawostronnie domknięty B=(-3, 5⟩. Przedział prawostronnie domknięty C=(-5, 2⟩.

a) $(A \cup B) \cap C = (- 3; 5⟩ \cap (- 5; 2⟩ = (- 3; 2⟩$
b) $(A \cap B) \cup C = ⟨- 2; 3) \cup (- 5; 2⟩ = (- 5; 3)$
c) $A \cup (B \cap C) = ⟨- 2; 3) \cup (- 3; 2⟩ = (- 3; 3)$
d) $A \cap (B \cup C) = ⟨- 2; 3) \cap (- 5; 5⟩ = ⟨- 2; 3)$

Ćwiczenie 5

Niech $ℕ$ oznacza zbiór liczb naturalnych, $ℕ_{+}$ - zbiór liczb naturalnych dodatnich (bez zera), $ℤ$ - zbiór liczb całkowitych, $ℤ_{-}$ - zbiór liczb całkowitych ujemnych. Wyznacz elementy zbiorów:
a) $⟨- 10; 10) \cap ℕ$
b) $(- 4; 2⟩ \cap ℤ$
c) $⟨- 3; 4⟩ \cap ℕ_{+}$
d) $(- 10; 5) \cap ℤ_{-}$

a) $⟨- 10; 10) \cap ℕ$ oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych większych lub równych $(- 10)$ i jednocześnie mniejszych od $10$ . Zatem $⟨- 10; 10) \cap ℕ = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$ .
b) $(- 4; 2⟩ \cap ℤ$ oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych większych od $(- 4)$ i jednocześnie mniejszych lub równych $2$ . Zatem $(- 4; 2⟩ \cap ℤ = \{- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2\}$ .
c) $⟨- 3; 4⟩ \cap ℕ_{+}$ oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich większych lub równych $(- 3)$ i jednocześnie mniejszych lub równych $4$ . Zatem $⟨- 3; 4⟩ \cap ℕ_{+} = \{1; 2; 3; 4\}$ .
d) $(- 10; 5) \cap ℤ_{-}$ oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych ujemnych większych od $(- 10)$ i jednocześnie mniejszych od $5$ . Zatem $(- 10; 5) \cap ℤ_{-} = \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1\}$ .

Ćwiczenie 6

Wyznacz takie wartości parametru $m$ , dla których przedziały $A = (- 5; 2 m + 1)$ i $B = (4 m - 3; 15)$ są zbiorami niepustymi i jednocześnie rozłącznymi.

Aby przedziały $A$ i $B$ były niepuste, musi zachodzić $2 m + 1 > - 5$ i $4 m - 3 < 15$ . Od obu stron pierwszej nierówności odejmujemy $1$ i dzielimy je przez $2$ otrzymując:
$2 m + 1 - 1 > - 5 - 1$
$2 m > - 6$
$m > - 3$ .
Do obu stron drugiej nierówności dodajemy $3$ i dzielimy je przez $4$ :
$4 m - 3 + 3 < 15 + 3$
$4 m < 18$
$m < 4, 5$ .
Zatem $m \in (- 3; 4, 5)$ .
Aby zbiory były rozłączne, musi zachodzić warunek $2 m + 1 < 4 m - 3$ . Odejmiemy od obu stron $2 m$ i dodamy do obu stron nierówności liczbę $3$ :
$\begin{array}{l} 2 m + 1 - 2 m < 4 m - 3 - 2 m \\ 1 < 2 m - 3 \\ 1 + 3 < 2 m - 3 + 3 \\ 4 < 2 m \end{array}$
Po podzieleniu obu stron przez $2$ mamy:
$2 < m$ .
Po uwzględnieniu obu warunków $m \in (- 3; 4, 5)$ i $2 < m$ , otrzymujemy $m \in (2; 4, 5)$ .

Ćwiczenie 7

Dane są przedziały $A$ , $B$ , $C$ . W każdym przypadku wyznacz i porównaj zbiory $A \cup (B \cap C)$ i $(A \cup B) \cap (A \cup C)$ oraz $A \cap (B \cup C)$ i $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ .
a) $A = (- 5; 6⟩$ , $B = (- 2; 8)$ , $C = ⟨- 1; 7⟩$
b) $A = ⟨- 4; 4)$ , $B = (5; 7)$ , $C = ⟨0; 6⟩$
Na podstawie przykładów postaw hipotezę dotyczącą własności sumy i iloczynu zbiorów.

a) $A \cup (B \cap C) = (- 5; 6⟩ \cup (- 2; 7⟩ = (- 5; 7⟩$
$(A \cup B) \cap (A \cup C) = (- 5; 8) \cap (- 5; 7⟩ = (- 5; 7⟩$
$A \cap (B \cup C) = (- 5; 6⟩ \cap (- 2; 8) = (- 2; 6⟩$
$(A \cap B) \cup (A \cap C) = (- 2; 6⟩ \cup ⟨- 1; 6⟩ = (- 2; 6⟩$

b) $A \cup (B \cap C) = ⟨- 4; 4) \cup (5; 6⟩$
$(A \cup B) \cap (A \cup C) = [⟨- 4; 4) \cup (5; 7)] \cap ⟨- 4; 6⟩ = ⟨- 4; 4) \cup (5; 6⟩$
$A \cap (B \cup C) = ⟨- 4; 4) \cap ⟨0; 7) = ⟨0; 4)$
$(A \cap B) \cup (A \cap C) = \emptyset \cup ⟨0; 4) = ⟨0; 4)$

Na podstawie rozważanych przykładów możemy postawić hipotezę, że suma zbiorów jest rozdzielna względem ich iloczynu oraz iloczyn zbiorów jest rozdzielny względem ich sumy. Innymi słowy dla dowolnych zbiorów $A$ , $B$ , $C$ zachodzą równości $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ oraz $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ . Formalne dowody tych własności wymagają zastosowania logiki matematycznej, ale możemy je zilustrować na tzw. diagramach Venna:

RfoXrH9qODJcz

Rysunek składa się z dwóch części. Po obu stronach mamy diagramy Venna, czyli trzy okręgi nachodzące na siebie w taki sposób, że każdy okrąg ma część wspólną z każdym innym okręgiem oraz wszystkie okręgi mają jednocześnie część wspólną. Każdy okrąg reprezentuje jeden ze zbiorów: A, B, C. W lewej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowany cały zbiór A oraz częśc wspólną zbiorów B i C. Zakreskowanie nakłada się tylko w części wspólnej wszystkich trzech zbiorów. Poniżej umieszczono podpis: A∪B∩C. W prawej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowane wszystkie zbiory, przy czym podwójnie zakreskowane są: cały zbiór A oraz część wspólną zbiorów B i C. Poniżej umieszczono podpis: A∪B∩A∪C.

Zauważ, że na każdym z diagramów został zamalowany ten sam obszar. Jest to argument za tym, że niezależnie od tego, jakie zbiory $A$ , $B$ , $C$ rozważymy, zawsze otrzymamy równość $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .
Analogicznie dla drugiej równości:

R1NxyCmsrf9UD

Rysunek składa się z dwóch części. Po obu stronach mamy diagramy Venna, czyli trzy okręgi nachodzące na siebie. Każdy okrąg reprezentuje jeden ze zbiorów: A, B, C. W lewej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowany wszystkie zbiory, przy czym podwójnie zakreskowana część jest częśćią wspólną zbiorów A i B oraz A i C. Poniżej umieszczono podpis: A∩B∪C. W prawej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowane części wspólne zbiorów A i B oraz A i C, przy czym podwójnie zakreskowane jest część wspólna wszystkich trzech zbiorów. Poniżej umieszczono podpis: A∩B∪A∩C.

R1c6qbhUCX7T03

Ćwiczenie 8

Poniżej podane są równości prawdziwe dla dowolnych przedziałów (ogólnie: zbiorów). Połącz w pary własności i ich nazwy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwe są równości: A iloczyn zbiorów B, równa się, B iloczyn zbiorów A Możliwe odpowiedzi: 1. łączność sumy, 2. przemienność iloczynu, 3. rozdzielność sumy względem iloczynu, 4. łączność iloczynu, 5. przemienność sumy, 6. zbiór pusty jest elementem neutralnym sumowania zbiorów A suma zbiorów B, równa się, B suma zbiorów A Możliwe odpowiedzi: 1. łączność sumy, 2. przemienność iloczynu, 3. rozdzielność sumy względem iloczynu, 4. łączność iloczynu, 5. przemienność sumy, 6. zbiór pusty jest elementem neutralnym sumowania zbiorów A suma zbiorów, zbiór pusty, równa się, A Możliwe odpowiedzi: 1. łączność sumy, 2. przemienność iloczynu, 3. rozdzielność sumy względem iloczynu, 4. łączność iloczynu, 5. przemienność sumy, 6. zbiór pusty jest elementem neutralnym sumowania zbiorów A suma zbiorów nawias, B iloczyn zbiorów C, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, A suma zbiorów B, zamknięcie nawiasu, iloczyn zbiorów nawias, A suma zbiorów C, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. łączność sumy, 2. przemienność iloczynu, 3. rozdzielność sumy względem iloczynu, 4. łączność iloczynu, 5. przemienność sumy, 6. zbiór pusty jest elementem neutralnym sumowania zbiorów A iloczyn zbiorów nawias, B suma zbiorów C, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, A iloczyn zbiorów B, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, A iloczyn zbiorów C, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. łączność sumy, 2. przemienność iloczynu, 3. rozdzielność sumy względem iloczynu, 4. łączność iloczynu, 5. przemienność sumy, 6. zbiór pusty jest elementem neutralnym sumowania zbiorów nawias, A iloczyn zbiorów B, zamknięcie nawiasu, iloczyn zbiorów C, równa się, A iloczyn zbiorów nawias, B iloczyn zbiorów C, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. łączność sumy, 2. przemienność iloczynu, 3. rozdzielność sumy względem iloczynu, 4. łączność iloczynu, 5. przemienność sumy, 6. zbiór pusty jest elementem neutralnym sumowania zbiorów

Animacja

Dla nauczyciela