Zacznijmy od zilustrowania przedziałów na osi liczbowej:

RVzhNU0GAM56y

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ od minus pięciu do pięciu. Na osi zaznaczone są następujące przedziały: Przedział lewostronnie domknięty $A=⟨-2, 3)$. Przedział prawostronnie domknięty $B=(-3, 5⟩$. Przedział prawostronnie domknięty $C=(-5, 2⟩$.

a) $\left(A\cup B\right)\cap C=\left(-3;5\right.⟩\cap \left(-5;2\right.⟩=\left(-3;2\right.⟩$
b) $\left(A\cap B\right)\cup C=\left.⟨-2;3\right)\cup \left(-5;2\right.⟩=\left(-5;3\right)$
c) $A\cup \left(B\cap C\right)=\left.⟨-2;3\right)\cup \left(-3;2\right.⟩=\left(-3;3\right)$
d) $A\cap \left(B\cup C\right)=\left.⟨-2;3\right)\cap \left(-5;5\right.⟩=\left.⟨-2;3\right)$

a) $\left.⟨-10;10\right)\cap \mathrm{\mathbb{N}}$ oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych większych lub równych $\left(-10\right)$ i jednocześnie mniejszych od $10$. Zatem $\left.⟨-10;10\right)\cap \mathrm{\mathbb{N}}=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}$.
b) $\left(-4;2\right.⟩\cap \mathrm{\mathbb{Z}}$ oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych większych od $\left(-4\right)$ i jednocześnie mniejszych lub równych $2$. Zatem $\left(-4;2\right.⟩\cap \mathrm{\mathbb{Z}}=\left\{-3;-2;-1;0;1;2\right\}$.
c) $⟨-3;4⟩\cap {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich większych lub równych $\left(-3\right)$ i jednocześnie mniejszych lub równych $4$. Zatem $⟨-3;4⟩\cap {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}=\left\{1;2;3;4\right\}$.
d) $\left(-10;5\right)\cap {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{-}$ oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych ujemnych większych od $\left(-10\right)$ i jednocześnie mniejszych od $5$. Zatem $\left(-10;5\right)\cap {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{-}=\left\{-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1\right\}$.

Aby przedziały $A$ i $B$ były niepuste, musi zachodzić $2m+1>-5$ i $4m-3<15$. Od obu stron pierwszej nierówności odejmujemy $1$ i dzielimy je przez $2$ otrzymując:
$2m+1-1>-5-1$
$2m>-6$
$m>-3$.
Do obu stron drugiej nierówności dodajemy $3$ i dzielimy je przez $4$:
$4m-3+3<15+3$
$4m<18$
$m<4,5$.
Zatem $m\in \left(-3;4,5\right)$.
Aby zbiory były rozłączne, musi zachodzić warunek $2m+1<4m-3$. Odejmiemy od obu stron $2m$ i dodamy do obu stron nierówności liczbę $3$:
$\begin{array}{l}2m+1-2m<4m-3-2m\\ 1<2m-3\\ 1+3<2m-3+3\\ 4<2m\end{array}$
Po podzieleniu obu stron przez $2$ mamy:
$2<m$.
Po uwzględnieniu obu warunków $m\in \left(-3;4,5\right)$ i $2<m$, otrzymujemy $m\in \left(2;4,5\right)$.

a) $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(-5;6\right.⟩\cup \left(-2;7\right.⟩=\left(-5;7\right.⟩$
$\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)=\left(-5;8\right)\cap \left(-5;7\right.⟩=\left(-5;7\right.⟩$
$A\cap \left(B\cup C\right)=\left(-5;6\right.⟩\cap \left(-2;8\right)=\left(-2;6\right.⟩$
$\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)=\left(-2;6\right.⟩\cup ⟨-1;6⟩=\left(-2;6\right.⟩$

b) $A\cup \left(B\cap C\right)=\left.⟨-4;4\right)\cup \left(5;6\right.⟩$
$\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)=\left[\left.⟨-4;4\right)\cup \left(5;7\right)\right]\cap ⟨-4;6⟩=\left.⟨-4;4\right)\cup \left(5;6\right.⟩$
$A\cap \left(B\cup C\right)=\left.⟨-4;4\right)\cap \left.⟨0;7\right)=\left.⟨0;4\right)$
$\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)=\varnothing \cup \left.⟨0;4\right)=\left.⟨0;4\right)$

Na podstawie rozważanych przykładów możemy postawić hipotezę, że suma zbiorów jest rozdzielna względem ich iloczynu oraz iloczyn zbiorów jest rozdzielny względem ich sumy. Innymi słowy dla dowolnych zbiorów $A$, $B$, $C$ zachodzą równości $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$ oraz $A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$. Formalne dowody tych własności wymagają zastosowania logiki matematycznej, ale możemy je zilustrować na tzw. diagramach Venna:

RfoXrH9qODJcz

Rysunek składa się z dwóch części. Po obu stronach mamy diagramy Venna, czyli trzy okręgi nachodzące na siebie w taki sposób, że każdy okrąg ma część wspólną z każdym innym okręgiem oraz wszystkie okręgi mają jednocześnie część wspólną. Każdy okrąg reprezentuje jeden ze zbiorów: $A, B, C$. W lewej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowany cały zbiór $A$ oraz częśc wspólną zbiorów $B$ i $C$. Zakreskowanie nakłada się tylko w części wspólnej wszystkich trzech zbiorów. Poniżej umieszczono podpis: $A\cup \left(B\cap C\right)$. W prawej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowane wszystkie zbiory, przy czym podwójnie zakreskowane są: cały zbiór $A$ oraz część wspólną zbiorów $B$ i $C$. Poniżej umieszczono podpis: $\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$.

Zauważ, że na każdym z diagramów został zamalowany ten sam obszar. Jest to argument za tym, że niezależnie od tego, jakie zbiory $A$, $B$, $C$ rozważymy, zawsze otrzymamy równość $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$.
Analogicznie dla drugiej równości:

R1NxyCmsrf9UD

Rysunek składa się z dwóch części. Po obu stronach mamy diagramy Venna, czyli trzy okręgi nachodzące na siebie. Każdy okrąg reprezentuje jeden ze zbiorów: $A, B, C$. W lewej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowany wszystkie zbiory, przy czym podwójnie zakreskowana część jest częśćią wspólną zbiorów $A$ i $B$ oraz $A$ i $C$. Poniżej umieszczono podpis: $A\cap \left(B\cup C\right)$. W prawej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowane części wspólne zbiorów $A$ i $B$ oraz $A$ i $C$, przy czym podwójnie zakreskowane jest część wspólna wszystkich trzech zbiorów. Poniżej umieszczono podpis: $\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$.