Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1IFhnk4DA2tL1

Ćwiczenie 1

Wybierz poprawną odpowiedź tak, aby poniższe zdania były poprawne merytorycznie.

W ruchu planet dookoła Słońca siła grawitacyjna pełni rolę {siły odśrodkowej} / {#siły dośrodkowej}.

To dzięki niej ciała poruszają się po {#okręgu} / {prostej}. Gdyby jej nie było, torem ruchu ciała {byłby okrąg} / {#byłaby prosta}.

R6ZrUgoT10kAG1

Ćwiczenie 2

Załóżmy, że ciało porusza się na orbicie kołowej wokół pewnej planety. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe?

Im większy promień orbity, tym mniejszy okres ruchu ciała.
Im większa masa ciała, tym większy okres ruchu.
Im mniejsza masa ciała, tym większy okres ruchu.
Im większa masa planety, tym mniejszy okres ruchu.

Ćwiczenie 3

RRRjFKnk7TrfX

Wyznacz wartość prędkości liniowej Księżyca w ruchu dookoła Ziemi. Przyjmij, że odległość Księżyca od Ziemi wynosi r = 384000 km, a okres jego obiegu dookoła naszej planety - 27,3 dnia. Wynik podaj w $\frac{km}{s}$ z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

v = ............ $\frac{km}{s}$ .

Wykorzystaj wzór łączący prędkość liniową z okresem:

$r = 384000 km; T = 27, 3 dnia = 27, 3 \cdot 24 \cdot 3600 s = 2358720 s$

$v = \frac{2 π r}{T}$

$v = \frac{2 π \cdot 384000 k m}{2358720 s} ≅ 1, 02 \frac{k m}{s}$

Zauważ, że otrzymana prędkość ma bardzo dużą wartość. Czy znasz jakiś obiekt, który na Ziemi pokonywałby dystans jednego kilometra w ciągu jednej sekundy? Najszybszy motocykl uzyskał w 2010 roku prędkość 605 km/h, co stanowi około 0,17 km/s – czyli ponad sześć razy mniej!

Ćwiczenie 4

R1Ve3shJWBI7R

Ilustracja przedstawia rysunek koła z szarym wypełnieniem. Na obwodzie koła, z punktu znajdującego się w górnej jego części, wychodzi czarna linia, która początkowo odchodzi od obwodu koła, a następnie biegnie równolegle do obwodu w prawą stroną. Po obiegnięciu trzech czwartych obwodu, linia zbliża się do obwodu koła i łączy się z nim. Na linii zaznaczono grotami strzałek kierunek w prawo, zgodny z ruchem wskazówek zegara. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R1RWdK6a6eWzd

Pierwszym człowiekiem w przestrzeni kosmicznej był Rosjanin Jurij Gagarin. 12 kwietnia 1961 roku w statku kosmicznym Wostok-1 przebywał on na orbicie okołoziemskiej około 68 minut. Gagarin nie wykonał jednak wówczas pełnego okrążenia dookoła naszej planety (lecz tylko fragment zaznaczony na schematycznym rysunku jako AB). Gdyby wykonał pełne okrążenie, to trwałoby ono 89 minut. Wysokość lotu nad powierzchnią Ziemi wynosiła 240 km. Jaką drogę przebył Gagarin? Wynik podaj w kilometrach z dokładnością do trzech cyfr znaczących. Przyjmij π = 3,14.

s = ............ km.

Wykorzystaj wzór na prędkość liniową

$t_{1} = 68 m i n u t$

$t_{2} = 89 m i n u t$

$h = 240 k m = 240 000 m = 2, 4 \cdot 10^{5} m$

$R_{z} = 6370 k m = 6, 37 \cdot 10^{6} m$

$v = \frac{2 π r}{T}$

$r = R_{z} + h$

Wyznacz wartość prędkości liniowej w trakcie całego lotu.

$v = \frac{2 π (R_{z} + h)}{t_{2}}$

$v = \frac{2 π (6370000 m + 240000 m)}{89 \cdot 60 s} ≅ 7773, 6 \frac{m}{s}$

Następnie wyznacz drogę pokonaną w czasie tIndeks dolny 1.

$s = v \cdot t_{1}$

$s = 7773, 6 \frac{m}{s} \cdot 68 \cdot 60 s = 31716, 12 km ≅ 31700 km$

Ćwiczenie 5

Znając promień orbity Księżyca R, masę Ziemi oraz stałą grawitacji, wyprowadź wyrażenie na prędkość kątową, z którą Księżyc obiega Ziemię.

Wiemy, że prędkość kątowa wyraża się wzorem:

$ω = \frac{2 π}{T} .$

Wyznaczmy zatem T. W tym celu skorzystajmy z faktu, że na Księżyc działają dwie równoważące się siły - grawitacyjna i dośrodkowa:

$F_{d} = F_{g},$

$\frac{m v^{2}}{R} = G \frac{m M_{z}}{R^{2}},$

$v^{2} = G \frac{M_{z}}{R} .$

Wiedząc, że wartość prędkości wyraża się jako:

$v = \frac{2 π R}{T},$

możemy zapisać, że:

$\frac{4 π^{2} R^{2}}{T^{2}} = G \frac{M_{z}}{R} .$

Zatem:

$T = \sqrt{\frac{4 π^{2} R^{3}}{G M_{z}}} = 2 π \sqrt{\frac{R^{3}}{G M_{z}}} .$

Wstawiając otrzymane wyrażenie do wzoru na prędkość kątową otrzymujemy:

$ω = \frac{2 π}{2 π \sqrt{\frac{R^{3}}{G M_{z}}}} = \sqrt{\frac{G M_{z}}{R^{3}}} .$

Ćwiczenie 6

R19xpAvEiiLMd

Wyznacz, na jakiej wysokości znajduje się satelita, jeśli obiega on Ziemię w ciągu 4 h. Przyjmij, że przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni naszej planety wynosi 9,81 $\frac{m}{s^{2}}$ , promień Ziemi to 6370 km, a π = 3,14. Wynik podaj w kilometrach, z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

h = ............ km.

$t = 4 h = 4 \cdot 3600 s = 14 400 s .$

$g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}; R_{Z} = 6370 k m = 6, 37 \cdot 10^{6} m .$

$h = ?$

$F_{o d ś r} = F_{g} \frac{m v^{2}}{r} = G \frac{m~ M_{z}}{r^{2}} v^{2} = G \frac{M_{z}}{r} .$

Wiedząc, że siła grawitacyjna, w przypadku opisanym w zadaniu, pełni rolę siły dośrodkowej, porównaj wzory opisujące te siły:

$m g = G \frac{m M_{z}}{R_{z}^{2}} .$

$g = G \frac{M_{z}}{R_{z}^{2}} .$

$g R_{z}^{2} = G M_{z}$ .

Po dokonaniu przekształceń otrzymujemy zależność:

$v^{2} = \frac{g R_{Z}^{2}}{R_{Z} + h} .$

Dodatkowo wiemy, że:

$v = \frac{2 π (R_{z} + h)}{T} .$

Możemy wyznaczyć h:

$\frac{4 π^{2} (R_{Z} + h)^{2}}{T^{2}} = \frac{g R_{Z}^{2}}{R_{Z} + h},$

$h = \sqrt[3]{\frac{g R_{Z}^{2} T^{2}}{4 π^{2}}} - R_{Z} .$

$h = \sqrt[3]{\frac{9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot (6, 37 \cdot 10^{6} m)^{2} \cdot (1, 44 \cdot 10^{4} s)^{2}}{4 π^{2}}} - 6, 37 \cdot 10^{6} m ≅ 6420 km$ .

Ćwiczenie 7

RxiyFNaTLl3Ru

Wiedząc, że średnia odległość Ziemi od Słońca wynosi około 1,5 ⋅ 10¹¹ m, oblicz prędkość obiegu Ziemi dookoła Słońca. Przyjmij π = 3,14 i wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

v = ............ $\frac{km}{s}$ .

Wypisz dane z zadania:

$T = 365, 25 dni = 365, 25 \cdot 24 \cdot 3600 s = 31 557 600 s,$

$r = 1, 5 \cdot 10^{11} m .$

Wiemy, że prędkość liniowa w ruchu po okręgu wyraża się wzorem:

$v = \frac{2 π r}{T} .$

Wykonując działania na liczbach otrzymujemy wynik:

$v = \frac{2 π r}{T} \approx 30 \frac{km}{s} .$

Ćwiczenie 8

R32OS7E89Ok2N

Wyznacz okres obiegu sondy znajdującej się na wysokości h = 1000 km nad powierzchnią Wenus, jeśli wiadomo, że promień Wenus R_W wynosi 6052 km, a jej masa M_W = 4,87 ⋅ 10²⁴ kg. Wynik podaj w minutach, z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

t = ............ min.

Wiedząc, że siła grawitacyjna, w przypadku opisanym w zadaniu, pełni rolę siły dośrodkowej, porównaj wzory opisujące te dwie siły.

$h = 1000 k m = 10^{6} m$ .

$R_{w} = 6052 k m = 6, 052 \cdot 10^{6} m$ .

$M_{W} = 4, 87 \cdot 10^{24} k g$ .

$T = ?$

$F_{d} = F_{g}$ .

$\frac{m v^{2}}{r} = G \frac{m M_{z}}{r^{2}}$ .

$v^{2} = G \frac{M_{z}}{r}$ .

$r = R_{W} + h$ .

Wzór na prędkość liniową w ruchu po okręgu:

$v = \frac{2 π (R_{W} + h)}{T},$

porównaj ze wzorem zapisanym wcześniej:

$\frac{4 π^{2} (R_{W} + h)^{2}}{T^{2}} = G \frac{M_{W}}{R_{w} + h} .$

$T = \sqrt{\frac{4 π^{2} (R_{Z} + h)^{3}}{G M_{W}}} = 2 π \sqrt{\frac{(R_{Z} + h)^{3}}{G M_{W}}}$ .

$T = 2 π \sqrt{\frac{(6, 052 \cdot 10^{6} m + 10^{6} m)^{3}}{6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{k g \cdot s^{2}} \cdot 4, 87 \cdot 10^{24} k g}} ≅ 109 min$ .

Ćwiczenie 9

R1G6mNhqeDps7

Satelita geostacjonarny wykorzystywany w celach telekomunikacyjnych znajduje się nad pewnym określonym punktem równika. Wyznacz prędkość liniową, z jaką porusza się ten satelita. Przyjmij, że promień Ziemi wynosi R_Z = 6370 km, a przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi: g = 9,81 m/s², a doba ziemska: 23 h 56 minut i 4 sekundy. Wynik podaj w kilometrach na godzinę w zaokrągleniu do cyfry jedności. v = Tu uzupełnij

\frac{k m}{h}

Satelita geostacjonarny, wykorzystywany w celach telekomunikacyjnych, znajduje się nad pewnym określonym punktem równika. Wyznacz prędkość liniową, z jaką porusza się ten satelita, oraz promień jego orbity. Przyjmij, że promień Ziemi wynosi R_Z = 6370 km, a przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi: g = 9,81 $\frac{m}{s^{2}}$ , natomiast doba ziemska: 23 h 56 minut i 4 sekundy. Przyjmij π = 3,14 a wynik podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

r = ............ ⋅ 10⁴ $km$ .

v = ............ ⋅ 10⁴ $\frac{km}{h}$ .

Zapisz wzór na prędkość liniową satelity.

$R_{Z} = 6370 k m = 6, 37 \cdot 10^{6} m$ .

$g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}$ .

$v = \frac{2 π r}{T}$ .

Pamiętaj, że okres obiegu satelity jest równy jednej dobie ziemskiej:

$T = 23 h 56 m i n 4 s = 23 \cdot 3600 s + 56 \cdot 60 s + 4 s = 86164 s,$

zaś r:

$r = R_{z} + h .$

Wiedząc, że:

$F_{d} = F_{g},$

$\frac{m v^{2}}{r} = G \frac{m M_{z}}{r^{2}},$

$v^{2} = G \frac{M_{z}}{r},$

$v = \frac{2 π r}{T},$

$\frac{4 π^{2} r^{2}}{T^{2}} = G \frac{M_{z}}{r}$

zauważ, że na powierzchni Ziemi:

$m g = G \frac{m M_{z}}{R_{z}^{2}} .$

Łącząc powyższe zależności, uprość wzór na prędkość.

$g = G \frac{M_{z}}{R_{z}^{2}}$ .

$g R_{z}^{2} = G M_{Z}$ .

$r = \sqrt[3]{\frac{g R_{z}^{2} T^{2}}{4 π^{2}}}$ .

$v = \frac{2 π r}{T} = \frac{2 π \sqrt[3]{\frac{g R_{z}^{2} T^{2}}{4 π^{2}}}}{T} = \sqrt[3]{8 π^{3} \frac{g R_{z}^{2} T^{2}}{4 π^{2} T^{3}}} = \sqrt[3]{2 π \frac{g R_{z}^{2}}{T}}$ .

$r = \sqrt[3]{\frac{9, 81 \frac{m}{s^{2}} (6, 37 \cdot 10^{6} m)^{2} (86164 s)^{2}}{4 π^{2}}} ≅ 42100000 m = 4, 21 \cdot 10^{4} km .$ $v = \sqrt[3]{2 π \frac{9, 81 \frac{m}{s^{2}} (6, 37 \cdot 10^{6} m)^{2}}{86164 s}} ≅ 3070 \frac{m}{s} = 1, 11 \cdot 10^{4} \frac{km}{h}$ .

Film samouczek

Dla nauczyciela