Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiono prostą, będącą wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ .

R1V5AP1DT8Qyn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową Y i poziomą X. Zaznaczono prostą malejącą przecinającą oś Y w pierwszej i drugiej ćwiartce.

R3JOywMMoMtDX

Wobec tego:

$a \cdot b < 0$
$a \cdot b > 0$
$a \cdot b = 0$

Ćwiczenie 2

Na podstawie rysunku zaznacz zdania, które są prawdziwe.

R1J4tXJCqqIi7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową Y i poziomą X. Zaznaczono prostą rosnącą przecinającą oś Y w trzeciej i czwartej ćwiartce.

R9itu9Czary0n

Współczynnik $b$ ze wzoru funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku jest ujemny.
Współczynnik $a$ ze wzoru funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku jest ujemny.
Wartość $a \cdot b = 8$ .
Prosta, będąca wykresem tej funkcji znajduje się w $I$ , $III$ i $IV$ ćwiartce układu współrzędnych.

Ćwiczenie 3

R1J3h8jSLrWHa

Funkcja liniowa jest określona wzorem

f (x) = (- m + 2) x + (m - 1)

. Połącz w pary wartość parametru

m

z numerami ćwiartek układu współrzędnych, w których położona jest prosta, będąca wykresem tej funkcji.

m = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

I

III

IV

, 2.

I

III

IV

, 3.

I

III

, 4.

I

II

IV

m = 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

I

III

IV

, 2.

I

III

IV

, 3.

I

III

, 4.

I

II

IV

m = 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

I

III

IV

, 2.

I

III

IV

, 3.

I

III

, 4.

I

II

IV

m = - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

I

III

IV

, 2.

I

III

IV

, 3.

I

III

, 4.

I

II

IV

Funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = (- m + 2) x + (m - 1)$ . Połącz w pary wartość parametru $m$ z numerami ćwiartek układu współrzędnych, w których położona jest prosta, będąca wykresem tej funkcji.

$m = 0$
$m = 1$
$m = 4$
$m = - 1$

Ćwiczenie 4

Oblicz, dla jakich wartości parametrów $m$ i $n$ prosta, będąca wykresem funkcji określonej wzorem $f (x) = (4 m - 3) x + (- 2 n + 1)$ znajduje się w $II$ , $III$ , $IV$ ćwiartce układu współrzędnych.

Prosta, będąca wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ znajduje się w $II$ , $III$ , $IV$ ćwiartce układu współrzędnych, gdy $a < 0$ i $b < 0$ .

Wobec tego zachodzą następujące nierówności:

$4 m - 3 < 0$ , więc $m \in (- \infty, \frac{3}{4})$ ,

$- 2 n + 1 < 0$ , więc $n \in (\frac{1}{2}, \infty)$ .

Ćwiczenie 5

Wyznacz, dla jakich wartości parametru $m$ prosta, będąca wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = (5 m^{3} - 10 m^{2} + 2 m - 4) x - 3$ jest równoległa do osi $X$ układu współrzędnych.

Jeżeli prosta, będąca wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ jest równoległa do osi $X$ , to $a = 0$ i $b \in ℝ$

Zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie, korzystając z metody grupowania wyrazów:

$5 m^{3} - 10 m^{2} + 2 m - 4 = 0$

$5 m^{2} (m - 2) + 2 (m - 2) = 0$

$(m - 2) (5 m^{2} + 2) = 0$

$m - 2 = 0$ , czyli $m = 2$

$5 m^{2} + 2 = 0$ , czyli $m \in \emptyset$ .

Wobec tego $m = 2$ .

Sprawdzenie:

$5 \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 4 = 40 - 40 = 0$

Zatem funkcja liniowa wyraża się wzorem $f (x) = - 3$ .

Ponieważ $a = 0$ i $b \in ℝ$ , to prosta, będąca wykresem funkcji $f$ jest równoległa do osi $X$ układu współrzędnych.

RwtxFY1TiiO5u2

Ćwiczenie 6

Uzupełnij tekst wpisując odpowiednie znaki:

>

<

lub

=

. Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem

f (x) = a x + b

, to: - dla

a

Tu uzupełnij

0

b

Tu uzupełnij

0

prosta, będąca wykresem tej funkcji znajduje się w

II

III

IV

ćwiartce układu współrzędnych, - dla

a

Tu uzupełnij

0

b

Tu uzupełnij

0

prosta, będąca wykresem tej funkcji znajduje się w

III

IV

ćwiartce układu współrzędnych, - dla

a

Tu uzupełnij

0

b

Tu uzupełnij

0

prosta, będąca wykresem tej funkcji znajduje się w

I

III

IV

ćwiartce układu współrzędnych, - dla

a

Tu uzupełnij

0

b

Tu uzupełnij

0

prosta, będąca wykresem tej funkcji znajduje się w

I

III

ćwiartce układu współrzędnych.

Uzupełnij tekst wpisując odpowiednie znaki: $>$ , $<$ lub $=$ .

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = a x + b$ , to:
- dla $a$ ............ $0$ i $b$ ............ $0$ prosta, będąca wykresem tej funkcji znajduje się w $II$ , $III$ , $IV$ ćwiartce układu współrzędnych,
- dla $a$ ............ $0$ i $b$ ............ $0$ prosta, będąca wykresem tej funkcji znajduje się w $III$ , $IV$ ćwiartce układu współrzędnych,
- dla $a$ ............ $0$ i $b$ ............ $0$ prosta, będąca wykresem tej funkcji znajduje się w $I$ , $III$ , $IV$ ćwiartce układu współrzędnych,
- dla $a$ ............ $0$ i $b$ ............ $0$ prosta, będąca wykresem tej funkcji znajduje się w $I$ , $III$ ćwiartce układu współrzędnych.

Ćwiczenie 7

Do prostej, będącej wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ należą punkty o współrzędnych $(0, - 3)$ oraz $(3, 2)$ . Wyznacz wartości współczynników $a$ i $b$ we wzorze tej funkcji.

Ponieważ punkt o współrzędnych $(0, - 3)$ należy do prostej, będącej wykresem funkcji $f$ , to $b = - 3$ .

Wartość współczynnika $a$ obliczymy, korzystając ze wzoru na współczynnik kierunkowy.

Zatem

$a = \frac{2 - (- 3)}{3 - 0} = \frac{5}{3}$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz wartości współczynników $a$ i $b$ ze wzoru funkcji liniowej $f (x) = a x + b$ , jeżeli prosta, będąca wykresem tej funkcji ogranicza wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt o polu $4 \frac{1}{6}$ tak, jak na poniższym rysunku.

R1OeOISB65cyX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 6 do sześciu oraz osią pionową od minus 3 do siedmiu. Zaznaczono prostą malejącą przecinającą oś Y w punkcie pięć. w miejscu przecięcia z osią X utworzyła się płaszczyzna w kształcie trójkąta prostokątnego.

Zauważmy, że rozpatrywany trójkąt jest prostokątny. Z rysunku odczytujemy, że wykres funkcji $f$ przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, 5)$ .

Wobec tego $b = 5$ .

Niech $x$ będzie długością dolnej podstawy trójkąta. Jeżeli pole tego trójkąta wynosi $4 \frac{1}{6}$ , to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$4 \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 5$ .

Zatem $x = \frac{5}{3}$ .

Wobec tego do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych $(\frac{5}{3}, 0)$ .

Wartość współczynnika $a$ wynosi:

$a = \frac{0 - 5}{\frac{5}{3} - 0} = \frac{- 5}{\frac{5}{3}} = - 3$ .

Aplet

Dla nauczyciela