1. Sprawdźmy najpierw, czy z drutu o podanej długości można zbudować szkielet najprostszej bryły będącej graniastosłupem prawidłowym czworokątnym – szkielet sześcianu. Jak wiemy, sześcian jest graniastosłupem którego wszystkie krawędzie są równe. Niech $a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ oznacza długość krawędzi rozważanego sześcianu. Sześcian ma $12$ krawędzi tej samej długości, otrzymujemy równanie $12a=20\Rightarrow a=\frac{5}{3}$. Zatem nie można zbudować szkieletu sześcianu spełniając warunki zadania – wówczas długość krawędzi nie wyraża się liczbą ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$.

2. Rozważmy graniastosłup prawidłowy czworokątny nie będący sześcianem. Niech $a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ oznacza długość krawędzi podstawy, a $b\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ długość krawędzi bocznej rozważanego graniastosłupa. Mamy $8$ krawędzi podstaw o długości $a$ oraz $4$ krawędzie boczne o długości $b$, otrzymujemy równanie $8a+4b=20\Rightarrow 2a+b=5$. Zatem mamy następujące możliwości długości krawędzi graniastosłupa spełniające warunki zadania: $\left(a=1\wedge b=3\right)\vee \left(a=2\wedge b=1\right)$. Istnieją dwa graniastosłupy prawidłowe czworokątne spełniające warunki zadania.

Zauważmy, że długości wszystkich krawędzi są wyrażone przez liczby ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$, a długość krawędzi podstawy jest najmniejsza z możliwych. Oznacz to, że krawędź podstawy ma długość $1$.

Wyznaczymy teraz długość krawędzi bocznej w podanym graniastosłupie. Skoro krawędź podstawy ma długość $1$, to krawędź boczna ma długość $\left(32-8·1\right):4=6$.

Zatem maksymalna długość krawędzi bocznej spełniająca warunki zadania wynosi $6$.