Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RQKpckGq9Q4JZ

Ćwiczenie 2

Ra8Y9Evg2fpHG

RxzmuXlh2MJG9

Ćwiczenie 3

Narysowany przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest trójkątem równobocznym o boku długości $6 cm$ .

RqAxppgCqHd0v

Grafika przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. W ostrosłupie zaznaczone zostały dwie naprzeciwległe krawędzie boczne oraz dłuższa przekątna podstawy przechodząca przez środek podstawy. Przekątna łączy zaznaczone krawędzie, w taki sposób że wszystkie zaznaczone linie tworzą trójkąt.

R1OuynPNqkYBc

RBAzDz3gvpE6j2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego objętość wynosi $768 {cm}^{3}$ . Wiedząc, że $| A B | = 16 cm$ , wskaż poprawne zdania.

R1XstGSFUintM

RYCzjOpamCGYU

Ćwiczenie 6

Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego przedstawionego na rysunku wynosi $P$ , ponadto $\cos α = \frac{5}{13}$ .

RfiAzTBqungxI

Grafika przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. W ostrosłupie zaznaczone zostały wysokości dwóch sąsiadujących ścian bocznych oraz linia znajdująca się w płaszczyźnie postawy, która łączy te wysokości. Kąt pomiędzy wysokościami jest zaznaczony litera alfa. Wysokości ścian bocznych są podpisane literami h.

RLFv02My09Uv6

Ćwiczenie 7

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $a$ , a jego wysokość jest dwa razy dłuższa. Oblicz miary kątów przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krótszą przekątną podstawy i górny wierzchołek.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

R114VNECZ814f

Grafika przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Podstawa ostrosłupa składa się z wierzchołków: A, B, C, D, E, F. Wierzchołek ostrosłupa jest podpisany literą S. Długość krawędzi podstawy to a. Długość krawędzi bocznej to k. W ostrosłupie zaznaczone zostały dwie krawędzie boczne AS i CS oraz linia AC znajdująca się w płaszczyźnie postawy, która łączy te krawędzie. Wszystkie zaznaczone linie tworzą trójkąt ACS. Kąt pomiędzy krawędziami jest zaznaczony litera alfa. W podstawie ostrosłupa zaznaczony został jej środek O. Odcinek OS jest wysokością ostrosłupa i ma długość 2a. Jest on jedną z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego OCS. Kąt OCS jest podpisany literą beta.

Trójkąt $A C S$ jest trójkątem równoramiennym.

Odcinek $A C$ jest krótszą przekątną sześciokąta foremnego, zatem

$| A C | = a \sqrt{3}$ .

Z trójkąta prostokątnego $S O C$ możemy policzyć długość krawędzi bocznych ostrosłupa, które są oznaczone na rysunku jako $k$ . Wykorzystajmy twierdzenie Pitagorasa:

$(2 a)^{2} + a^{2} = k^{2}$

$k = a \sqrt{5}$

Aby obliczyć miarę kąta $α$ , wykorzystajmy twierdzenie cosinusów dla trójkąta $A C S$ :

$(a \sqrt{3})^{2} = (a \sqrt{5})^{2} + (a \sqrt{5})^{2} - 2 \cdot a \sqrt{5} \cdot a \sqrt{5} \cdot \cos α$

$3 a^{2} = 5 a^{2} + 5 a^{2} - 10 a^{2} \cos α$

$- 7 a^{2} = - 10 a^{2} \cos α$

$\cos α = 0, 7$

Zatem $α \approx 45 °$ .

Co oznacza, że kąty przy podstawie trójkąta $A C S$ mają miary:

$β = \frac{180 ° - 45 °}{2} = 67, 5 °$

Ćwiczenie 8

Objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $V$ . Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez te dwie przeciwległe krawędzie boczne, jeśli kąt pomiędzy tymi krawędziami ma miarę $2 α$ .

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

R15ZgA1OA1j3y

Trójkąt $S F C$ jest równoramienny, zatem $| ∢ O S C | = α$ .

Oznaczmy wysokość ostrosłupa jako $H$ .

Wówczas:

$\frac{a}{H} = tg α$ , czyli $H = \frac{a}{tg α}$

Podstawmy te dane do wzoru:

$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a}{tg α}$

$V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2 tg α}$

$2 V tgα = a^{3} \sqrt{3}$

$a = \sqrt[3]{\frac{2 V tg α}{\sqrt{3}}}$

Zatem $H = \frac{\sqrt[3]{\frac{2 V tg α}{\sqrt{3}}}}{tg α} = \sqrt[3]{\frac{2 V}{{tg}^{2} α \sqrt{3}}}$ .

Obliczmy pole przekroju:

$P = \frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot H = a H = \sqrt[3]{\frac{2 V tg α}{\sqrt{3}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2 V}{{tg}^{2} α \sqrt{3}}} = \sqrt[3]{\frac{4 V^{2}}{3 tg α}}$

Aplet

Dla nauczyciela