Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Napisz program wyznaczający miejsce zerowe funkcji $f (x)$ , wykorzystując algorytm bisekcji.

Przetestuj działanie programu dla funkcji $f (x) = x^{2} - 2$ , przedziału $[0, 5]$ , przy współczynniku $epsilon$ równym $0, 001$ i współczynniku $delta$ równym $0, 001$ .

Specyfikacja problemu:

Dane:

f(x) – funkcja rzeczywista, której miejsce zerowe mamy obliczyć
a – liczba rzeczywista; początek przedziału
b – liczba rzeczywista; koniec przedziału
delta – liczba rzeczywista, przybliżenie określające maksymalną długość przedziału
epsilon – liczba rzeczywista; dokładność przybliżenia wartości funkcji w punkcie $x_{0}$

Wynik:

Program wyznacza i wypisuje wartość miejsca zerowego funkcji, zaokrąglone z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

RQRsEyAXXQKVH

Przykładowe rozwiązanie zadania:

def metoda_bisekcji(a, b, delta, epsilon):
    wartosc_a = funkcja(a)
    wartosc_b = funkcja(b)
    if wartosc_a * wartosc_b > 0:
        return None
    dlugosc_przedzialu = b - a
    while True:
        dlugosc_przedzialu = dlugosc_przedzialu / 2.0e0
        c = a + dlugosc_przedzialu
        w = funkcja(c)
        if abs(dlugosc_przedzialu) < delta or abs(w) < epsilon:
            return round(c,3)
        if w * wartosc_a < 0:
            b = c
            wartosc_b = w
        else:
            a = c
            wartosc_a = w


def funkcja(x):
    return x * x - 2


print(metoda_bisekcji(0, 5, 0.001, 0.001))

Ćwiczenie 2

Napisz funkcję wyznaczającą miejsce zerowe funkcji $f (x)$ z wykorzystaniem metody bisekcji, a następnie zmodyfikuj ją tak, by zwracała krotkę w postaci (c, w, k), gdzie c to miejsce zerowe funkcji, w to wyznaczona wartość funkcji w miejscu zerowym, a k to liczba iteracji wykonanych przez algorytm bisekcji (liczba pełnych obiegów pętli). Wykorzystaj warunki zakończenia algorytmu zaprezentowane w prezentacji.

Przetestuj działanie programu dla funkcji $f (x) = x^{2} - 2$ , przedziału $[0, 5]$ , przy współczynniku $epsilon$ równym $10^{- 6}$ i współczynniku $delta$ równym $10^{- 6}$ .

Specyfikacja problemu:

Dane:

f(x) – funkcja rzeczywista, której miejsce zerowe mamy obliczyć
a – liczba rzeczywista; początek przedziału
b – liczba rzeczywista; koniec przedziału
delta – liczba rzeczywista, przybliżenie określające maksymalną długość przedziału
epsilon – liczba rzeczywista; dokładność przybliżenia wartości funkcji w punkcie $x_{0}$

Wynik:

Program wyznacza i wypisuje wartość miejsca zerowego funkcji, wartość funkcji w wyznaczonym miejscu zerowym i liczbę iteracji algorytmu w postaci krotki (c, w ,k), gdzie c jest miejscem zerowym funkcji, w jest wyznaczoną wartością funkcji w miejscu zerowym, a k jest liczbą iteracji wykonanych przez algorytm bisekcji. Wartości c i w mają być zaokrąglone z dokładnością do pięciu miejsc po przecinku.

RbfTW5wc4lL5z

Przykładowe rozwiazanie zadania:

def metoda_bisekcji(a, b, delta, epsilon):
    wartosc_a = funkcja(a)
    wartosc_b = funkcja(b)
    if wartosc_a * wartosc_b > 0:
        return None
    dlugosc_przedzialu = b - a
    k = 0
    while True:
        dlugosc_przedzialu = dlugosc_przedzialu / 2.0e0
        c = a + dlugosc_przedzialu
        w = funkcja(c)
        if abs(dlugosc_przedzialu) < delta or abs(w) < epsilon:
            return round(c,5), round(w,5), k
        if w * wartosc_a < 0:
            b = c
            wartosc_b = w
        else:
            a = c
            wartosc_a = w
        k += 1


def funkcja(x):
    return x * x - 2


print(metoda_bisekcji(0, 5, 10e-7, 10e-7))

Ćwiczenie 3

Napisz funkcję wyznaczającą miejsce zerowe metodą bisekcji, a następnie wykorzystaj ją do wyznaczenia liczby $\pi$ .

W programie zastosuj funkcję trygonometryczną sinus, przedział $[3, 3.5]$ . Wartości współczynników $delta$ i $epsilon$ dobierz tak, by zwracana wartość mogła być poprawnie zaokrąglona z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Specyfikacja problemu:

Dane:

f(x) – funkcja trygonometryczna, którą wykorzystamy do obliczenia wartości liczby $\pi$ .
a – liczba rzeczywista; początek przedziału
b – liczba rzeczywista; koniec przedziału
delta – liczba rzeczywista, przybliżenie określające maksymalną długość przedziału, do samodzielnego dobrania
epsilon – liczba rzeczywista; dokładność przybliżenia wartości funkcji w punkcie $x_{0}$ , do samodzielnego dobrania

Wynik:

Program wyznacza i wypisuje wartość liczby $\pi$ zaokrągloną z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Rsl6P6oA4klUD

import math

def metoda_bisekcji(a, b, delta, epsilon):
    wartosc_a = funkcja(a)
    wartosc_b = funkcja(b)
    if wartosc_a * wartosc_b > 0:
        return None
    dlugosc_przedzialu = b - a
    while True:
        dlugosc_przedzialu = dlugosc_przedzialu / 2.0e0
        c = a + dlugosc_przedzialu
        w = funkcja(c)
        if abs(dlugosc_przedzialu) < delta or abs(w) < epsilon:
            return c
        if w * wartosc_a < 0 :
            b = c
            wartosc_b = w
        else:
            a = c
            wartosc_a = w


def funkcja(x):
    return math.sin(x)


pi = metoda_bisekcji(3, 3.5, 0.01, 0.01)
print(round(pi,2))

Przeczytaj

Dla nauczyciela