Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ to
$\frac{-6-2}{-5-7}=\frac{-8}{-12}=\frac{2}{3}$,
zaś współczynnik kierunkowy prostej $CD$ to
$\frac{3-1}{3-0}=\frac{2}{3}$.
Zatem odcinki $AB$ i $CD$ to podstawy trapezu. Ponieważ prosta przechodząca przez środki ramion trapezu jest równoległa do podstaw, więc jej współczynnik kierunkowy również jest równy $\frac{2}{3}$. Ponadto środek ramienia $CB$ ma współrzędne
$\left(\frac{3+7}{2};\frac{3+2}{2}\right)=\left(5;\frac{5}{2}\right)$.
Zatem równanie prostej przechodzącej przez środki ramion trapezu to
$y-\frac{5}{2}=\frac{2}{3}\left(x-5\right)$,
czyli
$y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{6}$.

Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ jest równy
$\frac{4-3}{-2+5}=\frac{1}{3}$.
Prosta $CD$ jest równoległa do prostej $AB$, zatem jej współczynnik kierunkowy też jest równy $\frac{1}{3}$, zatem równanie prostej $CD$ to
$y+2=\frac{1}{3}\left(x-1\right)$,
czyli
$y=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}$.
Współczynnik kierunkowy prostej $AD$ jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej $BC$ i wynosi
$\frac{-2-4}{1-\left(-2\right)}=\frac{-6}{3}=-2$.
Ponieważ do prostej $AD$ należy punkt $A$, to jej równanie ma postać
$y-3=-2\left(x+5\right)$,
czyli
$y=-2x-7$.
Współrzędne punktu $D$ uzyskamy, rozwiązując układ równań
$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}\\ y=-2x-7\end{array}\right.$,
który spełniają liczby
$x=-2$, $y=-3$.

Zauważmy, że jedna z szukanych prostych jest równoległa do boku $AB$ i przecina boki $AC$ i $BC$ w punktach dzielących je w stosunku $1:3$, licząc od wierzchołka $C$.

RntwzCQoe7g4u

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -2 do osiem oraz z pionową osią od -1 do sześć. Zaznaczono punkty: $A=\left(4;5\right)$, $B=\left(5;1\right)$, $C=\left(1;3\right)$. Następnie połączono te punkty, tworząc trójkąt. W połowie odcinka A C zaznaczono punkt K, w połowie odcinka A B zaznaczono punkt L, w połowie odcinka B C zaznaczono punkt M. Następnie zaznaczono kolejne punkty: punkt Y w połowie odcinka A L, punkt Z w połowie odcinka C M, punkt X w połowie odcinka B M. Zaznaczono pojedynczymi krótkimi kreskami przecinającymi odcinki M X oraz X B. Oznaczenie to wskazuje, że odcinki są równej długości. Następnie podwójną analogiczną kreską oznaczono dwa kolejne równe odcinki A Y oraz Y L.

Niech punkt $Z$ dzieli odcinek $BC$ w stosunku $1:3$, licząc od wierzchołka.

R1NqRAAnFrYi7

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych z poziomą osią X od -2 do osiem i pionową osią Y  od -1 do sześć. Zaznaczono punkty : $A=\left(4;5\right)$, $B=\left(5;1\right)$, $C=\left(1;3\right)$. Połączono ze sobą punkty, tworząc trójkąt A B C. Odcinek A C podzielono na dwa równe odcinki za pomocą punktu K. Na odcinku A B zaznaczono jego środek, oznaczono go jako L, następnie oznaczono również środek nowego odcinka A L, oznaczono go jako Y. Odcinek B C podzielono na cztery równe części, punkty kolejno od wierzchołka C do wierzchołka B to: Z M X. Przez punkt Z poprowadzono ukośną prostą, która jest równoległa do odcinka A B. Prosta ta dzieli odcinek B C w stosunku 1 do trzy licząc od wierzchołka C.

Punkt będący środkiem odcinka $BC$ oznaczmy przez $M$. Jego współrzędne to
$\left(\frac{5+1}{2};\frac{1+3}{2}\right)=\left(3;2\right)$.
Zatem punkt $Z$ jest środkiem odcinka $CM$, więc ma współrzędne
$\left(\frac{1+3}{2};\frac{3+2}{2}\right)=\left(2;2,5\right)$.
Szukana prosta jest równoległa do boku $AB$, zatem jej współczynnik kierunkowy jest równy
$\frac{1-5}{5-4}=-4$.
Równanie prostej przechodzącej przez punkt
$Z=\left(2;2,5\right)$
o współczynniku kierunkowym równym $\left(-4\right)$ to
$y-2,5=-4\left(x-2\right)$,
czyli
$y=-4x+10,5$.

Analogicznie wyznaczamy współrzędne punktu $X$, który dzieli bok $BC$ w stosunku $1:3$, licząc od punktu
$B=\left(4;1,5\right)$.
Prosta $AC$ ma współczynnik kierunkowy równy
$\frac{5-3}{4-1}=\frac{2}{3}$.
Zatem prosta równoległa do odcinka $AC$ przechodząca przez punkt
$X=\left(4;1,5\right)$
ma równanie
$y-1,5=\frac{2}{3}\left(x-4\right)$,
czyli
$y=\frac{2}{3}x-\frac{7}{6}$.
Współrzędne punktu $Y$ dzielącego bok $AB$ w stosunku $1:3$, licząc od wierzchołka $A$, są równe
$\left(4,25;4\right)$,
zaś współczynnik kierunkowy prostej $BC$ to $-\frac{1}{2}$.
Zatem równanie kierunkowe prostej równoległej do odcinka $BC$ przechodzącej przez punkt
$Y=\left(4,25;4\right)$
to
$y-4=-\frac{1}{2}\left(x-4,25\right)$,
czyli
$y=-\frac{1}{2}x+\frac{49}{8}$.

Odpowiedź: $y=-4x+10,5$; $y=\frac{2}{3}x-\frac{7}{6}$; $y=-\frac{1}{2}x+\frac{49}{8}$.