W trójkącie poprowadzono odcinki i łączące odpowiednio środki boków tego trójkąta. Połącz w pary wektory równe.
R9mQpHWLzr4Db
Rz1ogQpByzLUa
1
Ćwiczenie 2
Dany jest trapez zbudowany z siedmiu przystających trójkątów. Zaznacz wszystkie wektory równe podanemu wektorowi.
R3CmVs13jFiIt
R1M140NpMhja3
Opisz, czym charakteryzują się wektory równe.
1
Ćwiczenie 3
Na poniższym rysunku punkty wyznaczają wektory. Dla każdego wektora wskaż wektor równy i połącz je w pary.
RBWHtdm9O0Uki
R4MWJQkPyclkF
Mając dany prostokąt ABCD, w którym narysowane przekątne przecinają się w punkcie E, wskaż cztery pary wektorów równych i uzasadnij ich równość poznanymi w tej lekcji warunkami równości wektorów.
2
Ćwiczenie 4
Przedstawiona na rysunku siatka jest zbudowana z trójkątów równobocznych, których wierzchołki wyznaczają wektory. Jakie cechy mają powstałe w ten sposób wymienione niżej wektory? Przeciągnij odpowiednie cechy na pola po lewej stronie.
R10v7ifDVM8Aa
R1PfmxoE9CJ9h
Dany jest trójkąt równoramienny ABE wpisany w prostokąt ABCD. W trójkącie poprowadzona jest pionowa wysokość z wierzchołka E do środka podstawy AB w punkcie I. Prawy bok prostokąta podzielony jest na dwa równe odcinki punktem G. Lewy bok trójkąta podzielony jest również na dwa równe odcinki punktem H. Punkty H i G tworzą odcinek HG. Wysokość trójkąta EI przecina się z odcinkiem HG pod kątem prostym w punkcie F. Wskaż cztery pary wektorów równych. Uzasadnij ich równość poznanymi w tej lekcji warunkami równości wektorów.
2
Ćwiczenie 5
Dany jest czworokąt wypukły . Punkty są odpowiednio środkami boków tego czworokąta. Uzasadnij, że i są równe. Skorzystaj z twierdzenia o linii środkowej trójkąta.
Poprowadź przekątną czworokąta .
Znajdź zależność między wektorami i oraz wektorami i .
Poprowadźmy przekątną tego czworokąta. Odcinki i łączą środki boków trójkątów i , zatem każdy z nich jest równoległy do odcinka , zaś ich długości są równe połowie długości odcinka . Stąd wynika, że wektory i mają takie same długości i kierunki. Zgodność zwrotów możemy odczytać z rysunku. Zatem wektory i są równe.
2
Ćwiczenie 6
Trójkąt prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku jest wpisany w okrąg o środku . Udowodnij, że . Zwróć uwagę, na jakim odcinku leży punkt .
Przypomnij sobie, gdzie znajduje się środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym.
Wystarczy powołać się na własność okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym: jego środek leży w połowie przeciwprostokątnej. Zatem punkt jest środkiem odcinka . Wynika stąd, że wektory i mają taki sam kierunek, długość i zwrot, zatem są równe.
3
Ćwiczenie 7
Dany jest trapez równoramienny o podstawach i , w którym . Z punktu opuszczono wysokość, której spodkiem jest punkt . Punkty i są odpowiednio środkami boków i . Udowodnij, że i są równe. Wyznacz pomocniczo odcinek łączący środki ramion.
Uzależnij długość odcinka łączącego środki ramion trapezu od długości podstaw.
Uzależnij długość odcinka łączącego spodek wysokości trapezu równoramiennego z bardziej odległym wierzchołkiem podstawy.
W każdym trapezie odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw, zaś jego długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw. W trapezie równoramiennym odległość spodka wysokości od bardziej oddalonego wierzchołka jest równa średniej arytmetycznej podstaw. Zatem wektory i mają równe długości, ten sam kierunek i zwrot, czyli są równe.
3
Ćwiczenie 8
Dany jest trapez równoramienny o podstawach i , w którym . Z punktu opuszczono wysokość, której spodkiem jest punkt . Punkty i są odpowiednio środkami przekątnych i . Udowodnij, że i są równe.
Uzależnij długość odcinka łączącego środki przekątnych trapezu od długości jego podstaw.
Uzależnij długość odcinka łączącego spodek wysokości trapezu równoramiennego z mniej odległym wierzchołkiem podstawy.
W każdym trapezie odcinek łączący środki przekątnych jest równoległy do podstaw, zaś jego długość jest połową różnicy długości podstaw.
Rozważmy trapez (oznaczenia jak na rysunku), w którym punkty i są środkami ramion i , zaś punkty i środkami przekątnych i odpowiednio. niech będzie punktem przecięcia przekątnych, zaś - punktem przecięcia prostych zawierających ramiona trapezu.
RR8pnis0TbF68
Ponieważ odcinki na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odcinków na drugim ramieniu tego kąta, więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa odcinek jest równoległy do podstaw i trapezu. Z twierdzenia Talesa zastosowanego do kąta wynika, że jest środkiem odcinka .
Zatem odcinek łączy środki boków trójkąta , więc . Ponadto odcinek łączy środki boków trójkąta , więc .
Stąd .
Zatem odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość równą średniej arytmetycznej długości jego podstaw.
Z twierdzenia Talesa zastosowanego do kąta wynika, że jest środkiem odcinka . Zatem .
Wynika stąd, że .
Czyli długość odcinka łączącego środki przekątnych trapezu jest równa połowie różnicy długości jego podstaw.
W trapezie równoramiennym odległość spodka wysokości od bliższego wierzchołka jest równa połowie różnicy długości podstaw. Zatem wektory i mają równe długości, ten sam kierunek i zwrot, czyli są równe.