Poprowadź przekątną $DB$ czworokąta $ABCD$.

Znajdź zależność między wektorami $\overrightarrow{KN}$ i $\overrightarrow{DB}$ oraz wektorami $\overrightarrow{LM}$ i $\overrightarrow{DB}$.

Poprowadźmy przekątną $BD$ tego czworokąta. Odcinki $LM$ i $KN$ łączą środki boków trójkątów $ABD$ i $BCD$, zatem każdy z nich jest równoległy do odcinka $BD$, zaś ich długości są równe połowie długości odcinka $BD$. Stąd wynika, że wektory $\overrightarrow{KN}$ i $\overrightarrow{LM}$ mają takie same długości i kierunki. Zgodność zwrotów możemy odczytać z rysunku. Zatem wektory $\overrightarrow{KN}$ i $\overrightarrow{LM}$ są równe.

Przypomnij sobie, gdzie znajduje się środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym.

Wystarczy powołać się na własność okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym: jego środek leży w połowie przeciwprostokątnej. Zatem punkt $O$ jest środkiem odcinka $AB$. Wynika stąd, że wektory $\overrightarrow{AO}$ i $\overrightarrow{OB}$ mają taki sam kierunek, długość i zwrot, zatem są równe.

Uzależnij długość odcinka łączącego środki ramion trapezu od długości podstaw.

Uzależnij długość odcinka łączącego spodek wysokości trapezu równoramiennego z bardziej odległym wierzchołkiem podstawy.

W każdym trapezie odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw, zaś jego długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw. W trapezie równoramiennym odległość spodka wysokości od bardziej oddalonego wierzchołka jest równa średniej arytmetycznej podstaw. Zatem wektory $\overrightarrow{KL}$ i $\overrightarrow{EB}$ mają równe długości, ten sam kierunek i zwrot, czyli są równe.

Uzależnij długość odcinka łączącego środki przekątnych trapezu od długości jego podstaw.

Uzależnij długość odcinka łączącego spodek wysokości trapezu równoramiennego z mniej odległym wierzchołkiem podstawy.

W każdym trapezie odcinek łączący środki przekątnych jest równoległy do podstaw, zaś jego długość jest połową różnicy długości podstaw.

Rozważmy trapez $ABCD$ (oznaczenia jak na rysunku), w którym punkty $K$ i $N$ są środkami ramion $AD$ i $BC$, zaś punkty $L$ i $M$ środkami przekątnych $BD$ i $AC$ odpowiednio. $F$ niech będzie punktem przecięcia przekątnych, zaś $E$ - punktem przecięcia prostych zawierających ramiona trapezu.

RR8pnis0TbF68

Na ilustracji przedstawiony jest duży trójkąt DCE zawierający mniejsze figury. Bok CE podzielony jest punktami N i leżącym wyżej B na trzy odcinki, z czego CN oraz NB są równe. Odcinek BE narysowany jest linią przerywaną. Bok ED dużego trójkąta również podzielony jest na trzy odcinki punktami A oraz niżej K. Odcinek EA jest narysowany linią przerywaną. Odcinki AK i KD są równe. Między bokami dużego trójkąta narysowane są poziome odcinki mające swoje początki i końce w punktach dzielących boki. Tak powstał w dużym trójkącie mały trapez KNBA. Mamy teraz trzy trapezy w dużym trójkącie, jeśli rozszerzymy jego pole w dół trójkąta do jego podstawy, otrzymamy duży trapez DCBA oraz mniejszy trapez o takiej samej podstawie DCNK. Teraz z wierzchołka dużego trójkąta DCE poprowadzony jest odcinek do punku A należącego do ramienia ED. W ten sposób powstaje trójkąt DCA. Pole tego trójkąta jest zaznaczone kolorem. Odcinek CA przecina się z dolną podstawą małego trapezu KNBA w punkcie M. Teraz z wierzchołka D dużego trójkąta DCE poprowadzony jest odcinek do punktu B należącego do przeciwległego ramienia CE. Odcinek DB przecina się z dolną podstawą małego trapezu KNBA w punkcie L. Oba odcinki wychodzące z wierzchołków dużego trójkąta DCE, czyli odcinek CA oraz DB przecinają się w punkcie F.

Ponieważ odcinki na jednym ramieniu kąta $DEC$ są proporcjonalne do odcinków na drugim ramieniu tego kąta, więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa odcinek $KN$ jest równoległy do podstaw $AB$ i $DC$ trapezu. Z twierdzenia Talesa zastosowanego do kąta $BCA$ wynika, że $M$ jest środkiem odcinka $AC$.

Zatem odcinek $MN$ łączy środki boków trójkąta $ABC$, więc $\left|MN\right|=\frac{1}{2}\left|AB\right|$. Ponadto odcinek $KM$ łączy środki boków trójkąta $DCA$, więc $\left|KM\right|=\frac{1}{2}\left|DC\right|$.

Stąd $\left|KN\right|=\left|KM\right|+\left|MN\right|=\frac{1}{2}\left|DC\right|+\frac{1}{2}\left|AB\right|=\frac{\left|DC\right|+\left|AB\right|}{2}$.

Zatem odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość równą średniej arytmetycznej długości jego podstaw.

Z twierdzenia Talesa zastosowanego do kąta $ADB$ wynika, że $L$ jest środkiem odcinka $BD$. Zatem $\left|KL\right|=\frac{1}{2}\left|AB\right|$.

Wynika stąd, że $\left|LM\right|=\left|KM\right|-\left|KL\right|=\frac{1}{2}\left|DC\right|-\frac{1}{2}\left|AB\right|=\frac{\left|DC\right|-\left|AB\right|}{2}$.

Czyli długość odcinka łączącego środki przekątnych trapezu jest równa połowie różnicy długości jego podstaw.

W trapezie równoramiennym odległość spodka wysokości od bliższego wierzchołka jest równa połowie różnicy długości podstaw. Zatem wektory $\overrightarrow{KL}$ i $\overrightarrow{AE}$ mają równe długości, ten sam kierunek i zwrot, czyli są równe.