Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RV0m3zDUybn9G

Uzupełnij wzór:

x-Δx, u(x), x+Δx, x-u(x), Δy, Δx, x+u(x), u(y)

Załóżmy, że wielkość fizyczna y, którą chcemy wyznaczyć, zależy tylko od jednej wielkości x, którą można wyznaczyć bezpośrednio: y=f(x). W tej sytuacji niepewność pomiarową wielkości fizycznej y wyznacza się ze wzoru:

............=½| f(............) - f(............) |

Zgodnie z umową, standardową niepewność pomiarową wielkości x oznacza się jako u(x). Oznaczenie $Δ x$ jest zarezerowowane dla niepewności granicznej związanej z pomiarem wielkości x.

Ćwiczenie 2

RDMQ3BIfnNBM0

Na lekcji fizyki uczniowie przeprowadzali eksperyment z użyciem wahadła matematycznego. Mieli za zadanie zmierzyć okres wahadła przy pomocy stopera o dokładności równej 1s. Uznali, że niepewność pomiarowa znacząco się zmniejszy, jeśli zamiast jednego okresu zmierzą jego wielokrotność. W efekcie, zmierzyli czas 25 okresów wahadła i zapisali wynik: t=(49±1) s.

Czy ten pomysł był dobry? Czy postępując w sposób taki, jak to zrobili uczniowie, można zmniejszyć niepewność pomiaru? Ile wynosi okres wahadła? Ile wynosi jego niepewność pomiarowa? Zaznacz prawidłowe stwierdzenie:

Tak, pomysł uczniów był dobry. Okres wahadła wynosi: T=1,960 (0,023) s. Jego niepewność standardowa: u(T)=0,023 s, jest 25 razy mniejsza od niepewności, jaką uczniowie uzyskaliby, gdyby zmierzyli stoperem pojedynczy okres.
Tak, to był dobry pomysł. Okres wahadła wynosi: T=1,96 (0,04) s. Jego niepewność standardowa jest równa u(T)=0,04 s, czyli jest 25 razy mniejsza od niepewności granicznej pomiaru wykonanego stoperem z dokładnością 1 s.
Chociaż okres wahadła został wyznaczony z dokładnością do setnych części sekundy: T=1,96 s, nie ma to znaczenia, ponieważ dokładność stopera się nie zmieniła. Wciąż wynosi 1s. Zapisując wynik zgodnie z przyjętymi zasadami dostajemy: T=(2±1) s, co oznacza, że ten pomysł nie był dobry.

Niepewność standardowa pomiaru czasu $t=49~\text{s}$ wynosi: $u(t)=\frac{\Delta t}{\sqrt{3}}\simeq0,58~\text{s}$ .

Okres wahadła jest wielkością mierzoną pośrednio: $T=t/25=1,96~\text{s}$ . Niepewność tego pomiaru zależy od jednej wielkości mierzonej bezpośrednio i można łatwo pokazać, że jest ona równa: $u(T)=u(t)/25\simeq0,023~\text{s}.$

Ćwiczenie 3

Pomiar wartości współczynnika tarcia statycznego można łatwo wykonać w domu. W tym celu na płaskiej powierzchni (np. na desce do krojenia) należy położyć jakiś przedmiot (np. monetę) i, podnosząc jeden z końców tej powierzchni zmierzyć, przy jakim kącie nachylenia $\alpha$ przedmiot zaczyna się zsuwać. Tangens tego kąta jest równy współczynnikowi tarcia statycznego, $f=\text{tg}~\alpha$ .

Wykonaj samodzielnie taki eksperyment. Na przykład, wyznacz współczynnik tarcia pięciozłotówki o drewnianą deskę do krojenia chleba. Nie zapomnij o wyznaczeniu niepewności pomiarowej.

Jeśli nie masz warunków do samodzielnego wykonania pomiarów, skorzystaj z pomiarów podanych przez nas. W naszym doświadczeniu pięciozłotówka zaczęła się zsuwać, gdy kąt nachylenia przekroczył wartość $\alpha=(24\pm2)^{\circ}$ .

Współczynnik tarcia statycznego pięciozłotówki o powierzchnię drewnianej deski do krojenia jest równy $f=\text{tg}~\alpha=\text{tg}~24^{\circ}=0,445229$ .

Niepewność pomiaru wyznaczamy, postępując zgodnie z algorytmem omówionym w części „Przeczytaj”:

Krok 1. wyznaczamy niepewność pomiaru bezpośredniego (tj. pomiaru kąta)

$u(\alpha)=\frac{\Delta\alpha}{\sqrt{3}}=\frac{2^{\circ}}{1,732}\simeq1,1547^{\circ}.$

Krok 2: wyznaczamy niepewność pomiaru pośredniego (tj. pomiaru współczynnika tarcia statycznego) korzystamy ze wzoru

$u(f)=\frac{1}{2}|\text{tg}(\alpha+u(\alpha)-\text{tg}(\alpha-u(\alpha))|,$

z którego, po podstawieniu wartości liczbowych, dostajemy:

$u(f)=\frac{1}{2}|\text{tg}(25,1547^{\circ})-\text{tg}(22,8453^{\circ})|=\frac{1}{2}|0,4696-0,4213|\simeq0,024.$

Zmierzony w tym doświadczeniu współczynnik tarcia ma wartość

$f=0,445(0,024).$

Ćwiczenie 4

R1COHeJkvDVtx

Aby wyznaczyć masę wody w szklance zważono najpierw szklankę pustą $m$ , a potem szklankę z wodą $M$ . Wyniki pomiarów zanotowano wraz z ich niepewnościami granicznymi: $m = (130 \pm 5) g$ , $M = (385 \pm 5) g$ . Oblicz masę wody w szklance, a wynik podaj wraz z niepewnością pomiarową. Pamiętaj, że zgodnie z umową niepewność standardową podaje się z dokładnością do dwóch miejsc znaczących.

$w$ =............(............) g.

Pomiar masy wody w szklance jest pomiarem pośrednim. Masę wody wyznaczamy jako różnicę dwóch mas: $w = M - m$ , które mierzymy bezpośrednio. Aby wyznaczyć niepewność pomiarową, należy postępować zgodnie z algorytmem, który został omówiony w części „Przeczytaj” tego materiału: $u (w) = \sqrt{u_{M}^{2} (w) + u_{m}^{2} (w)}$ , gdzie $u_{M} (w) = u_{m} (w) = \frac{Δ m}{\sqrt{3}}$ .

$w = 255, 0 (4, 1) g$

Ćwiczenie 5

R15fMAJBOpY9l

Aby wyznaczyć masę wody w szklance najpierw kilkakrotnie zważono pustą szklankę odnotowując kolejne wskazania wagi: $m = {m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4}, m_{5}}$ , a następnie w podobny sposób postąpiono ze szklanką wypełnioną wodą, odnotowując: $M = {M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, M_{5}}$ . Jaki sposób należy postąpić, by wyznaczyć masę wody w szklance $w$ i niepewność tego pomiaru $u (w)$ ?

Masę wody obliczamy jako różnicę średniej masy szklanki z wodą i średniej masy pustej szklanki: $w = \overline{M} - \overline{m}$ . Niepewność $u (w)$ wyznaczamy jako sumę geometryczną udziałów: $u_{M} (w) = u (M)$ i $u_{m} (w) = u (m)$ , gdzie $u (M)$ i $u (m)$ oznaczają odchylenia standardowe od wartości średnich w każdej z serii pomiarowych.
Masę wody obliczamy jako różnicę średniej masy szklanki z wodą i średniej masy pustej szklanki: $w = \overline{M} - \overline{m}$ . Niepewność $u (w)$ wyznaczamy jako średnią arytmetyczną z różnic: ${M_{1} - m_{1}, M_{2} - m_{2}, M_{3} -m_{3}, M_{4} - m_{4}, M_{5} - m_{5}}$ .

Jeśli wielkość fizyczna $w$ została wyznaczona w sposób bezpośredni i w tym celu została wykonana seria wielu pomiarów: ${w_1,w_2,\dots,w_n}$ , to za wynik pomiaru przyjmuje się średnią arytmetyczną ze wszystkich wykonanych pomiarów:

$\overline{w}=\frac{1}{n}(w_1+w_2+\dots+w_n)\ .$

Niepewność standardową tego wyniku pomiaru nazywa się niepewnością standardową typu A i oblicza się ją jako odchylenie standardowe wielkości średniej:

$u(w)=\sqrt{\frac{\left[(w_1-\overline{w})^2+\dots+(w_n-\overline{w})^2\right]}{n(n-1)}}\ .$

Ćwiczenie 6

W celu wyznaczenia objętości pięćdziesięciogroszówki zmierzono jej średnicę
d = 20,40 mm i grubość h = 1,72 mm (zobacz fotografia). Pomiar średnicy wykonano suwmiarką, a pomiar grubości śrubą mikrometryczną. Dokładności obydwu użytych przyrządów pomiarowych wynosiły 0,01 mm. Wyznacz objętość monety. Wynik pomiaru podaj wraz z niepewnością pomiarową. Pamiętaj o tym, że zwyczajowo niepewność podaje się z dokładnością do dwóch cyfr znaczących. Przyjmij pi = 3,1416.

R1FPwu0c1w4Ja

Na zdjęciu przedstawiono leżącą poziomo na stole śrubę mikrometryczną. W jej szczękach umieszczono monetę w taki sposób, że śruba mierzy grubość monety. Od góry ustawiono suwmiarkę, która mierzy średnicę monety. Suwmiarka jest elektroniczna, dzięki czemu wynik nie jest odczytywany z noniusza, a z wyświetlacza ciekłokrystalicznego. Widoczny na suwmiarce wynik wynosi dwadzieścia i czterdzieści setnych milimetra. — Źródło: Leszek Pawlicki, Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

RKjmPbdSPGzjA

Odpowiedź:
V=............ mm³, u(V)=............ mm³

Wymiary monety są następujące: $d=20,40~mm$ , $h=1,72~mm$ .

Objętość monety wyznaczamy ze wzoru: $V=\frac{\pi}{4}d^2h=562,18555~mm^3$ , gdzie przyjęto wartość $\pi=3,1416$ .

Niepewność pomiaru objętości wyznaczamy realizując kolejne kroki drugiego z algorytmów opisanych w części „Przeczytaj” tego e‑matriału:

Krok 1. niepewności pomiarów bezpośrednich: $u(d)=u(h)=\frac{0,01~\text{mm}}{\sqrt{3}}\simeq 0,0058~\text{mm}\ .$

Krok 2. udziały niepewności pomiarów bezpośrednich w niepewności pomiaru pośredniego:

$u_d(V)=\frac{\pi}{2}~h~d~u(d)=\ldots\simeq0,3197~\text{mm}^3,$

$u_h(V)=\frac{\pi}{4}~d^2~u(h)=\ldots\simeq1,8957~\text{mm}^3.$

Krok 3. obliczenie niepewności:

$u(V)=\sqrt{u_d^2(V)+u_h^2(h)}=\ldots\simeq1,9~\text{mm}^3.$

Ostatecznie mamy

$V=562,2~(1,9)~\text{mm}^3$

$V=562,2~\text{mm}^3$ , $u(V)=1,9~\text{mm}^3$

Ćwiczenie 7

Załóżmy, że wielkość fizyczna $y$ , którą chcemy wyznaczyć, zależy od dwóch innych wielkości: $x_1$ i $x_2$ , które można zmierzyć bezpośrednio. Zależność między tymi wielkościami jest następująca:

$y=\frac{x_1}{x_2^{~2}}.$

Wykaż, że udziały niepewności pomiarów bezpośrednich w niepewności $u(y)$ są dane wzorami:

$u_1(y)=\frac{1}{x_2^{~2}}u(x_1),$

$u_2(y)=\frac{2x_1}{x_2^{~3}}u(x_2),$

gdzie $u(x_1)$ i $u(x_2)$ są niepewnościami standardowymi pomiarów bezpośrednich.

Rozwiązując to zadanie skorzystaj z podanych poniżej wzorów na niepewności w pomiarach pośrednich, które zależą tylko od jednej wielkości wejściowej:

dla $y=ax$ mamy: $u(y)=|a|u(x)$ ,
dla $y=x^n$ mamy: $u(y)=|n|x^{n-1}u(x)$ .

Postępując jak zasugerowano w podpowiedzi, podczas wyznaczania udziału $u_1(y)$ , wielkość $x_2$ traktujemy tak, jakby miała ustaloną wartość. Udział $u_1(y)$ obliczamy wtedy, korzystając ze wzoru na niepewność pomiaru pośredniego: $y=a\cdot x_1$ , gdzie $a=\frac{1}{x_2^{~2}}$ . W ten sposób dostajemy

$u_1(y)=a\cdot u(x_1)=\frac{1}{x_2^{~2}}u(x_1).$

W podobny sposób, traktując $x_1$ jak stałą wielkość, wyznaczmy udział $u_2(y)$ . W tej sytuacji mamy $y=b\cdot(x_2)^{-2}$ , gdzie $b=x_1$ . Korzystając ze wzoru podanego w treści zadania, dostajemy

$u_2(y)=b\cdot|-2|(x_2)^{-2-1}u(x_2)=b\cdot\frac{2}{x_2^{~3}}u(x_2)=\frac{2x_1}{x_2^{~3}}u(x_2).$

Ćwiczenie 8

Wyobraź sobie, że bierzesz udział w lekcji fizyki zatytułowanej: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego. Podczas lekcji przeprowadziliście doświadczenie, w którym zmierzyliście okres drgań wahadła o długości $l=(50,0\pm0,1)~\text{cm}$ . Wynik to $T=(1,40\pm0,05)~\text{s}$ . Podane niepewności to niepewności graniczne wykonanych pomiarów. Dzięki tym pomiarom udało się Wam wyznaczyć wartość ostatecznego wyniku

$g=4\pi^2\frac{l}{T^2}\simeq10,073636~\frac{\text{m}}{\text{s}^2},$

gdzie przyjęliście $\pi=3,142$ .

REvDAwwplT4ZG

W ramach pracy domowej zostaliście poproszeni o wyznaczenie niepewności zmierzonej wielkości i przesłanie wyniku SMS'em do nauczyciela.

W treści SMS'a wpiszesz: g=............ (............) m/s^{2^.}

Skorzystaj ze wzorów podanych w treści poprzedniego ćwiczenia. Pamiętaj, że niepewność standardową pojedynczych pomiarów bezpośrednich oblicza się ze wzoru: $u(x)=\frac{\Delta x}{\sqrt{3}}$ .

Niepewności pomiarów bezpośrednich wynoszą:

$u(l)=\frac{\Delta l}{\sqrt{3}}=\frac{0,001~\text{m}}{1,732}\simeq0,0005773~\text{m},$

$u(T)=\frac{\Delta T}{\sqrt{3}}=\frac{0,05~\text{s}}{1,732}\simeq0,0288683~\text{s}.$

Udziały tych niepewności w pomiarze przyspieszenia ziemskiego obliczamy ze wzorów (zob. poprzednie ćwiczenie):

$u_l(g)=\frac{4\pi^2}{T^2}u(l)\simeq0,011631\frac{\text{m}}{\text{s}^2},$

$u_T(g)=4\pi^2\frac{2l}{T^3}u(T)\simeq0,415441\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

i dostajemy:

$u(g)=\sqrt{u_l^2(g)+u_T^2(g)}\simeq0,42\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.$

Wyznaczona wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi:

$g=10,07~(0,42)~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.$

Zwróć uwagę, że ponieważ $u_T(g)\gg u_l(g)$ , to możemy zaniedbać udział $u_l(g)$ , a i tak niepewność wyznaczonej wartości przyspieszenia ziemskiego nie zmieni się.

Film samouczek

Dla nauczyciela