Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R5DdFZPJPD03t

Połącz w pary wyrażenia, które mają równe wartości.

\sqrt[3]{3 \sqrt{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{5}{18}}

, 2.

3^{\frac{5}{12}}

, 3.

3^{\frac{2}{9}}

, 4.

3^{\frac{3}{4}}

, 5.

3^{\frac{1}{2}}

, 6.

3^{\frac{2}{3}}

, 7.

3^{\frac{4}{9}}

, 8.

3^{\frac{5}{6}}

\sqrt[3]{3 \sqrt[3]{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{5}{18}}

, 2.

3^{\frac{5}{12}}

, 3.

3^{\frac{2}{9}}

, 4.

3^{\frac{3}{4}}

, 5.

3^{\frac{1}{2}}

, 6.

3^{\frac{2}{3}}

, 7.

3^{\frac{4}{9}}

, 8.

3^{\frac{5}{6}}

\sqrt{3 \sqrt[3]{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{5}{18}}

, 2.

3^{\frac{5}{12}}

, 3.

3^{\frac{2}{9}}

, 4.

3^{\frac{3}{4}}

, 5.

3^{\frac{1}{2}}

, 6.

3^{\frac{2}{3}}

, 7.

3^{\frac{4}{9}}

, 8.

3^{\frac{5}{6}}

\sqrt{3 \sqrt{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{5}{18}}

, 2.

3^{\frac{5}{12}}

, 3.

3^{\frac{2}{9}}

, 4.

3^{\frac{3}{4}}

, 5.

3^{\frac{1}{2}}

, 6.

3^{\frac{2}{3}}

, 7.

3^{\frac{4}{9}}

, 8.

3^{\frac{5}{6}}

\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{5}{18}}

, 2.

3^{\frac{5}{12}}

, 3.

3^{\frac{2}{9}}

, 4.

3^{\frac{3}{4}}

, 5.

3^{\frac{1}{2}}

, 6.

3^{\frac{2}{3}}

, 7.

3^{\frac{4}{9}}

, 8.

3^{\frac{5}{6}}

\sqrt{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{5}{18}}

, 2.

3^{\frac{5}{12}}

, 3.

3^{\frac{2}{9}}

, 4.

3^{\frac{3}{4}}

, 5.

3^{\frac{1}{2}}

, 6.

3^{\frac{2}{3}}

, 7.

3^{\frac{4}{9}}

, 8.

3^{\frac{5}{6}}

\sqrt[3]{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{5}{18}}

, 2.

3^{\frac{5}{12}}

, 3.

3^{\frac{2}{9}}

, 4.

3^{\frac{3}{4}}

, 5.

3^{\frac{1}{2}}

, 6.

3^{\frac{2}{3}}

, 7.

3^{\frac{4}{9}}

, 8.

3^{\frac{5}{6}}

\sqrt[3]{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{\frac{5}{18}}

, 2.

3^{\frac{5}{12}}

, 3.

3^{\frac{2}{9}}

, 4.

3^{\frac{3}{4}}

, 5.

3^{\frac{1}{2}}

, 6.

3^{\frac{2}{3}}

, 7.

3^{\frac{4}{9}}

, 8.

3^{\frac{5}{6}}

Połącz w pary wyrażenia, które mają równe wartości.

$\sqrt[3]{3 \sqrt{3}}$
$\sqrt[3]{3 \sqrt[3]{3}}$
$\sqrt{3 \sqrt[3]{3}}$
$\sqrt{3 \sqrt{3}}$
$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{3}$
$\sqrt{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{3}}$
$\sqrt[3]{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{3}}$
$\sqrt[3]{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3}}$

R1CxkYEtNNFne

R3miXoVhYjYNs1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Zapisz wyrażenie $\frac{81 \cdot \sqrt[4]{27}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{81 \sqrt{3}}}$ w postaci potęgi liczby $3$ .

$\frac{81 \cdot \sqrt[4]{27}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{81 \sqrt{3}}} = \frac{3^{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot {(3^{4} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}} = \frac{3^{4} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot {(3^{4 \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}} = \frac{3^{4 \frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{3^{4 \frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}} = \frac{3^{4 \frac{3}{4}}}{3^{2}} = 3^{2 \frac{3}{4}}$ .

R1HYw6PEWbGGA2

Ćwiczenie 4

Zapisz wyrażenie

\sqrt{3 \sqrt{2 \sqrt{3 \sqrt{2 . . .}}}}

w najprostszej postaci.
Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1. W powyższej równości za wyrażenie

\sqrt{3 \sqrt{2 \sqrt{3 . . .}}}

możemy podstawić

x

otrzymując równość

x^{2} = 3 \sqrt{2 x}

., 2. Zauważmy najpierw, że wyrażenie

\sqrt{3 \sqrt{2 \sqrt{3 \sqrt{2 . . .}}}}

ma dodatnią wartość., 3. Wynika stąd, że

x^{3} = 18

, czyli

x = \sqrt[3]{18}

., 4. Po przeniesieniu wyrażenia po prawej stronie równości na jej lewą stronę, otrzymujemy

x^{4} - 18 x = 0

., 5. Możemy obie strony powyższej równości podnieść do kwadratu otrzymując równość

x^{2} = 3 \sqrt{2 \sqrt{3 \sqrt{2 . . .}}}

., 6. Ponownie możemy obie strony otrzymanej równości podnieść do kwadratu otrzymując równość

x^{4} = 18 x

, gdzie

x > 0

., 7. Oznaczmy rozważane wyrażenie przez

x

x = \sqrt{3 \sqrt{2 \sqrt{3 \sqrt{2 . . .}}}}

., 8. Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, otrzymujemy

x (x^{3} - 18) = 0

., 9. Ponieważ iloczyn jest równy zero dokładnie wtedy, kiedy przynajmniej jeden z czynników jest zerem oraz

x > 0

, więc

x^{3} - 18 = 0

Ćwiczenie 5

Zapisz wyrażenie $\sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 . . .}}}}$ w najprostszej postaci.

Oznaczmy rozważane wyrażenie przez $x$ .

Otrzymamy wówczas równość $x = \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 . . .}}}}$ .

Po podniesieniu obu stron do drugiej potęgi mamy $x^{2} = 3 \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 . . .}}}$ .

W ostatniej równości możemy dokonać podstawienia $x$ za $\sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 . . .}}}}$ , co daje równość $x^{2} = 3 x$ .

Po elementarnych przekształceniach otrzymujemy kolejno:

$x^{2} - 3 x = 0$

$x (x - 3) = 0$

Ponieważ $x$ jest liczbą dodatnią, więc $x - 3 = 0$ , czyli $x = 3$ .

Ćwiczenie 6

RXNzOFzjenqBa

Rozwiąż test składający się z czterech pytań. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Możesz korzystać ze wzorów skróconego mnożenia:
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ oraz ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

RvgzQ96kw2GbJ

R1HUygg0KrsOW

RT7b4UFZeGj8A

R1OPkG5mJ7TfP

Ćwiczenie 7

RRXlbVoKw3r83

Wyrażenie $\sqrt{\sqrt[3]{6} + 2 \sqrt[6]{60} + \sqrt[3]{10}}$ zostało uproszczone w pięciu krokach. Przyporządkuj przekształceniom własności, na podstawie których ich dokonano.

RwIgBGdq90bPq

R2RRZFUDYsmw1

RqkNF577G9ywG

RpEuqgZmrdr7F

Rso3fdZTMFfVh

Ćwiczenie 8

Rozważmy zbiór wszystkich liczb postaci $a + b \sqrt{2}$ , gdzie $a$ , $b$ są liczbami wymiernymi.

a) Udowodnij, że suma, różnica i iloczyn liczb postaci $a + b \sqrt{2}$ , gdzie $a, b \in ℚ$ , również jest tej postaci.

b) Wskaż elementy neutralne mnożenia i dodawania w tym zbiorze.

c) Udowodnij, że każdy element tego zbioru ma element przeciwny.

d) Czy każdy element tego zbioru ma element odwrotny?

a) Niech $x$ i $y$ będą elementami tego zbioru.

Wówczas $x = a + b \sqrt{2}$ i $y = c + d \sqrt{2}$ dla pewnych liczb wymiernych $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .

Rozważmy sumę liczb $x$ i $y$ :

$x + y = (a + b \sqrt{2}) + (c + d \sqrt{2}) = a + b \sqrt{2} + c + d \sqrt{2} = a + c + (b + d) \sqrt{2}$ .

Ponieważ suma liczb wymiernych jest liczbą wymierną, więc $a + c$ i $b + d$ są wymierne, czyli $a + c + (b + d) \sqrt{2} = x + y$ należy do rozważanego zbioru.

Rozważmy różnicę liczb $x$ i $y$ :

$x - y = (a + b \sqrt{2}) - (c + d \sqrt{2}) = a + b \sqrt{2} - c - d \sqrt{2} = a - c + (b - d) \sqrt{2}$ .

Ponieważ różnica liczb wymiernych jest liczbą wymierną, więc $a - c$ i $b - d$ są wymierne, czyli $a - c + (b - d) \sqrt{2} = x - y$ należy do rozważanego zbioru.

Rozważmy iloczyn liczb $x$ i $y$ :

$x \cdot y = (a + b \sqrt{2}) \cdot (c + d \sqrt{2}) = a c + b c \sqrt{2} + a d \sqrt{2} + 2 b d = a c + 2 b d + (b c + a d) \sqrt{2}$ .

Ponieważ iloczyn i suma liczb wymiernych jest liczbą wymierną, więc $a c + 2 b d$ i $b c + a d$ są wymierne, czyli $a c + 2 b d + (b c + a d) \sqrt{2} = x \cdot y$ należy do rozważanego zbioru.

b) Elementem neutralnym dodawania jest zero, bo $0 = 0 + 0 \cdot \sqrt{2}$ i $0$ jest liczbą wymierną.

Elementem neutralnym mnożenia jest jedynka, bo $1 = 1 + 0 \cdot \sqrt{2}$ , $0$ i $1$ są liczbami wymiernymi.

c) Elementem przeciwnym do elementu $x = a + b \sqrt{2}$ jest $- x = - a - b \sqrt{2}$ , bo $x + (- x) = a + b \sqrt{2} + (- a - b \sqrt{2}) = 0$ i jeśli $a$ , $b$ są wymierne, to $- a$ i $- b$ również są wymierne.

d) Jeśli $x = a + b \sqrt{2}$ nie jest zerem (a dzieje się to tylko wówczas, gdy $a = b = 0$ ), wówczas elementem odwrotnym jest $\frac{1}{a + b \sqrt{2}}$ .

Pozostaje sprawdzić, czy $\frac{1}{a + b \sqrt{2}}$ należy do rozważanego zbioru.

Wykonamy przekształcenia korzystając ze wzoru $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$ :

$\frac{1}{a + b \sqrt{2}} = \frac{1}{a + b \sqrt{2}} \cdot \frac{a - b \sqrt{2}}{a - b \sqrt{2}} = \frac{a - b \sqrt{2}}{(a + b \sqrt{2}) (a - b \sqrt{2})} = \frac{a - b \sqrt{2}}{a^{2} - {(b \sqrt{2})}^{2}} =$

$= \frac{a - b \sqrt{2}}{a^{2} - 2 b^{2}} = \frac{a}{a^{2} - 2 b^{2}} + \frac{- b}{a^{2} - 2 b^{2}} \sqrt{2}$

Ponieważ suma, różnica, iloczyn i iloraz (poza dzieleniem przez zero) liczb wymiernych są liczbami wymiernymi, więc również $\frac{a}{a^{2} - 2 b^{2}}$ i $\frac{- b}{a^{2} - 2 b^{2}}$ są liczbami wymiernymi.

Stąd $\frac{a}{a^{2} - 2 b^{2}} + \frac{- b}{a^{2} - 2 b^{2}} \sqrt{2}$ należy do rozważanego zbioru, czyli każdy niezerowy element tego zbioru posiada element odwrotny.

Film samouczek

Dla nauczyciela