Aby rozwiązaniem nieróności $\sin 2x<\frac{2a+1}{a-1}$ był zbiór liczb rzeczywistych, musi zachodzić warunek:

$\frac{2a+1}{a-1}>1$.

Zatem rozwiązujemy nierówność wymierną:

$\frac{2a+1}{a-1}-1>0$

$\frac{2a+1-a+1}{a-1}>0$

$\frac{a+2}{a-1}>0$

$(a+2)(a-1)>0$

Odpowiedź: $a\in (-\infty ,-2)\cup (1,+\infty )$.

Są dwie możliwości:

1. $2\sin 2x+1>0$ i  $2{\sin }^{2}x-1>0$

2. $2\sin 2x+1<0$ i  $2{\sin }^{2}x-1<0$.

Rozważmy przypadek 1.

Najpierw rozwiążemy nierówność: $2\sin 2x+1>0$:

$\sin 2x>-\frac{1}{2}$

$2x\in (-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{7\pi }{6}+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

$x\in (-\frac{\pi }{12}+k\pi ,\frac{7\pi }{12}+k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Wybieramy rozwiązanie w przedziale $(0,\pi )$:

$x\in (0,\frac{7\pi }{12})\cup (\frac{11\pi }{12},\pi )$

Rozwiążemy nierówność: $2{\sin }^{2}x-1>0$.

$\left|\sin x\right|>\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x\in (\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{3\pi }{4}+k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Wybieramy rozwiązanie w przedziale $(0,\pi )$:

$x\in (\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4})$

Odpowiedź w przypadku 1: $x\in (\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{12})$.

Rozważmy przypadek 2.

Rozwiążemy nierówność: $2\sin 2x+1<0$.

$\sin 2x<-\frac{1}{2}$

$2x\in (\frac{7\pi }{6}+2k\pi ,\frac{11\pi }{6}+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

$x\in (\frac{7\pi }{12}+k\pi ,\frac{11\pi }{12}+k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Wybieramy rozwiązanie w przedziale $(0,\pi )$:

$x\in (\frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12})$.

Rozwiążemy nierówność: $2{\sin }^{2}x-1<0$.

$\left|\sin x\right|<\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x\in (-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{4}+k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Wybieramy rozwiązanie w przedziale $(0,\pi )$:

$x\in (0,\frac{\pi }{4})\cup (\frac{3\pi }{4},\pi )$

Odpowiedź w przypadku 2:

$x\in (\frac{3\pi }{4},\frac{11\pi }{12})$.

Odpowiedź: $x\in (\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{12})\cup (\frac{3\pi }{4},\frac{11\pi }{12})$