Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1Zd2AzX1oYLg

RN4dDygzJSP8r

Kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych., 2. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi graniastosłupa., 3. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną ściany bocznej CBGF., 4. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną podstawy, BD a przekątną graniastosłupa Kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych., 2. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi graniastosłupa., 3. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną ściany bocznej CBGF., 4. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną podstawy, BD a przekątną graniastosłupa Kąt między przekątnymi graniastosłupa Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych., 2. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi graniastosłupa., 3. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną ściany bocznej CBGF., 4. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną podstawy, BD a przekątną graniastosłupa Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych., 2. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi graniastosłupa., 3. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną ściany bocznej CBGF., 4. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną podstawy, BD a przekątną graniastosłupa

Ćwiczenie 2

RXi4RsKcTH8GM

RQjxJRpFIEwJj

Kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD. Kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego wnętrzu Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD. Kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD. Kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a dłuższą przekątną podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD. Kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a krótszą przekątną podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD. Kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a krótszą przekątną podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD. Kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a dłuższą przekątną podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD.

RyjKpzuGPz17z11

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Rozwiąż test.

RHe2MjxN6TC9P

R13DmRlkYm94B

RZh0HEfS915vg

R1aOMiTI6hWbR

Ćwiczenie 5

Przekątne graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przecinają się w punkcie $I$ pod kątem o mierze $60 °$ . Oblicz odległość punktu $I$ od płaszczyzny podstawy, jeśli krawędź podstawy ma długość $6$ .

Zauważmy, że mamy dwie możliwości:

Kąt o mierze $60 °$ może znajdować się “od strony” ścian bocznych	Kąt o mierze $60 °$ może znajdować się “od strony” podstaw
R12XDLYXrywzG	R16KD01wQkaGz
W tym przypadku $\|∢ J I C\| = 60 °$ , $\|J C\| = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ . Wówczas $\|I J\| \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{2}$ . Stąd $\|I J\| = \sqrt{6}$ .	W tym przypadku $\|∢ J I C\| = 30 °$ , $\|J C\| = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ . Wówczas $\|I J\| = \|J C\| \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{6}$ .

Ćwiczenie 6

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny. Kąt między przekątnymi o długości $10$ ścian bocznych wychodzącymi z tego samego wierzchołka ma miarę $50 °$ . Oblicz wysokość graniastosłupa.

RpwTT8yeHejyd

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F o podstawie trójkąta. Zaznaczono kąt między przekątnymi ścian bocznych.

Z trygonometrii w trójkącie $E G B$ mamy $\sin 25 ° = \frac{|G B|}{|B E|}$ . Stąd $|G B| = |B E| \cdot \sin 25 ° \approx 10 \cdot 0, 4226 = 4, 226$ .

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $B C E$ mamy

$|E C| = \sqrt{{(10)}^{2} - {(2 \cdot 4, 226)}^{2}} \approx 5, 34$ .

Ćwiczenie 7

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy $a$ i wysokości $2 a \sqrt{2}$ . Wyznacz miarę kąta między dłuższą przekątną graniastosłupa i krótszą przekątną podstawy wychodzącymi z tego samego wierzchołka.

R1LfL0ggO2rMk

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H I J K L o podstawie sześciokąta. zaznaczono na nim przekątną graniastosłupa oraz przekątną podstawy BD, tworzą one między sobą kąt alfa. Zaznaczono również przekątną ściany bocznej D J

Zauważmy, że długość krótszej przekątnej podstawy to $a \sqrt{3}$ (dwie wysokości trójkąta równobocznego o boku $a$ ).

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $E D J$ mamy

$|D J| = \sqrt{a^{2} + {(2 a \sqrt{2})}^{2}} = 3 a$ .

Zatem trójkąt $B D J$ jest trójkątem prostokątnym $(|∢ B D J| = 90 °)$ o przyprostokątnych $|B D| = a \sqrt{3}$ i $|D J| = 3 a$ . Czyli $B D J$ jest połową trójkąta równobocznego, więc $|∢ D B J| = 60 °$ .

Ćwiczenie 8

Dany jest graniastosłup prawidłowy pięciokątny o krawędzi podstawy $2$ . Kąt między przekątnymi tego graniastosłupa wychodzącymi z tego samego wierzchołka ma miarę $30 °$ . Oblicz wysokość graniastosłupa.

R1TZSMptR8kAU

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H I J o podstawie pięciokąta. Zaznaczono na nim dwie przekątne graniastosłupa A H oraz B H tworzą one ze sobą kąt alfa. Zaznaczono również przekątne podstawy AD oraz BD.

Niech $d$ oznacza długość przekątnej graniastosłupa.

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $A B H$ mamy:

${|A B|}^{2} = {|A H|}^{2} + {|B H|}^{2} - 2 |A H| \cdot |B H| \cdot \cos (∢ A H B)$ , czyli $2^{2} = d^{2} + d^{2} - 2 d^{2} \cos 30 °$ . Stąd

$4 = 2 d^{2} - d^{2} \cdot \sqrt{3}$

$d^{2} = \frac{4}{2 - \sqrt{3}} = 4 (2 + \sqrt{3}) = 8 + 4 \sqrt{3}$

Z podobieństwa odpowiednich trójkątów (lub z trygonometrii) można wyznaczyć długość $p$ przekątnej pięciokąta foremnego w zależności od jego boku $a$ :

$p = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} a$

W naszym przypadku $p = 1 + \sqrt{5}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A D H$ mamy:

$|D H| = \sqrt{{|A H|}^{2} - {|A D|}^{2}} = \sqrt{d^{2} - p^{2}} = \sqrt{8 + 4 \sqrt{3} - {(1 + \sqrt{5})}^{2}} =$

$= \sqrt{8 + 4 \sqrt{3} - 6 - 2 \sqrt{5}} = \sqrt{2 + 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{5}}$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela