Rozważmy trójkąt równoramienny o podstawie $a$, ramionach $b$ i obwodzie równym $120$. Wybierz jedną z podanych sytuacji i odpowiedz na następne pytania.
• Content: $a=120-2b$, $b\in \left(0,60\right)$
  Next slide: Pole trójkąta wyraża się wzorem:
• Content: $b=60-\frac{a}{2}$, $a\in \left(0,60\right)$
  Next slide: Pole trójkąta wyraża się wzorem:
• Content: $b=60-\frac{a}{2}$, $a\in \left(0,120\right)$
  Next slide: Pamiętaj, że zgodnie z regułą trójkąta suma długości dwóch boków musi być większa niż długość trzeciego boku.
Pole trójkąta wyraża się wzorem:
• Content: $P\left(b\right)=\sqrt{60·{\left(60-b\right)}^2·\left(2b-60\right)}$
  Next slide: Bez straty ogólności możemy szukać wartości najmniejszej wyrażenia $f\left(b\right)={\left(60-b\right)}^2·\left(b-30\right)$. Jego pochodna wyraża się wzorem:
• Content: $P\left(b\right)=\sqrt{120·{\left(60-b\right)}^2·\left(30-b\right)}$
  Next slide: Bardzo ładnie wyłączyłeś czynnik przed nawias. Musisz jednak uważać na znaki: $\left(120-\left(60-2b\right)\right)=\left(60-2b\right)$.
Pole trójkąta wyraża się wzorem:
• Content: $P\left(a\right)=\sqrt{60·\left(60-a\right)·{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$
  Next slide: Bez straty ogólności możemy szukać wartości najmniejszej wyrażenia $f\left(a\right)=a^2\left(60-a\right)$. Jego pochodna wyraża się wzorem:
• Content: $P\left(b\right)=\sqrt{60·\left(60-b\right)·{\left(\frac{b}{2}\right)}^2}$
  Next slide: W tym zadaniu nie możemy dowolnie zamieniać zmiennych, bo wiemy, że $a$ to podstawa trójkąta.
Pamiętaj, że zgodnie z regułą trójkąta suma długości dwóch boków musi być większa niż długość trzeciego boku.
• Content: Wróć na poprzedni slajd.
  Next slide: Rozważmy trójkąt równoramienny o podstawie $a$, ramionach $b$ i obwodzie równym $120$. Wybierz jedną z podanych sytuacji i odpowiedz na następne pytania.
Bez straty ogólności możemy szukać wartości najmniejszej wyrażenia $f\left(a\right)=a^2\left(60-a\right)$. Jego pochodna wyraża się wzorem:
• Content: $f\text{'}\left(a\right)=120a-3a^2$
  Next slide: Miejsce zerowe pochodnej, które należy do dziedziny funkcji to:
• Content: $f\text{'}\left(a\right)=40a-a^2$
  Next slide: Masz dobrą intuicję, że można wyłączyć $3$ przed nawias. Pamiętaj, że dzielić możesz obie strony równania a nie wzór funkcji.
Bez straty ogólności możemy szukać wartości najmniejszej wyrażenia $f\left(b\right)={\left(60-b\right)}^2·\left(b-30\right)$. Jego pochodna wyraża się wzorem:
• Content: $f\text{'}\left(b\right)=3b^2-300b+7200$
  Next slide: Miejsce zerowe pochodnej, które należy do dziedziny funkcji to:
• Content: $f\text{'}\left(b\right)=b^3-100b+2400$
  Next slide: Masz dobrą intuicję, że można wyłączyć $3$ przed nawias. Pamiętaj, że dzielić możesz obie strony równania, ale nie wzór funkcji.
Miejsce zerowe pochodnej, które należy do dziedziny funkcji to:
• Content: $40$
  Next slide: Oczywiście ani $0$, ani $60$ nie należą do dziedziny rozważanej funkcji (nie da się zbudować trójkąta o boku $0$, nie da się zbudować trójkąta z odcinków długości $30$, $30$, $60$). Zauważ, że gdybyśmy mimo to wstawili te wielkości do wyprowadzonych wzoru na pole trójkąta, to otrzymalibyśmy $0$, które możemy interpretować jako pole odcinka.
  
  Zatem, skoro rozważamy ciągłą funkcję o wartościach nieujemnych, w punkcie $40$ osiągana jest wartość największa funkcji! Zauważ, że jeśli jeden z boków ma długość $0$, to rozważany trójkąt jest trójkątem równobocznym.
• Content: $0$
  Next slide: Zauważ, że ani $0$, ani $60$ nie należą do dziedziny rozważanej funkcji. Dziedzinę określaliśmy na początku naszej drogi. Zresztą, w każdej chwili możemy to sprawdzić – nie da się zbudować trójkąta o boku $0$, nie da się zbudować trójkąta z odcinków długości $30$, $30$, $60$.
• Content: $60$
  Next slide: Zauważ, że ani $0$, ani $60$ nie należą do dziedziny rozważanej funkcji. Dziedzinę określaliśmy na początku naszej drogi. Zresztą, w każdej chwili możemy to sprawdzić – nie da się zbudować trójkąta o boku $0$, nie da się zbudować trójkąta z odcinków długości $30$, $30$, $60$.
Oczywiście ani $0$, ani $60$ nie należą do dziedziny rozważanej funkcji (nie da się zbudować trójkąta o boku $0$, nie da się zbudować trójkąta z odcinków długości $30$, $30$, $60$). Zauważ, że gdybyśmy mimo to wstawili te wielkości do wyprowadzonych wzoru na pole trójkąta, to otrzymalibyśmy $0$, które możemy interpretować jako pole odcinka.

Zatem, skoro rozważamy ciągłą funkcję o wartościach nieujemnych, w punkcie $40$ osiągana jest wartość największa funkcji! Zauważ, że jeśli jeden z boków ma długość $0$, to rozważany trójkąt jest trójkątem równobocznym.
• Content: Dziękujemy. Spróbuj przyjść tu inną drogą.
  Next slide: Rozważmy trójkąt równoramienny o podstawie $a$, ramionach $b$ i obwodzie równym $120$. Wybierz jedną z podanych sytuacji i odpowiedz na następne pytania.
W tym zadaniu nie możemy dowolnie zamieniać zmiennych, bo wiemy, że $a$ to podstawa trójkąta.
• Content: Wróć na poprzedni slajd.
  Next slide: Pole trójkąta wyraża się wzorem:
Bardzo ładnie wyłączyłeś czynnik przed nawias. Musisz jednak uważać na znaki: $\left(120-\left(60-2b\right)\right)=\left(60-2b\right)$.
• Content: Wróć na poprzedni slajd.
  Next slide: Pole trójkąta wyraża się wzorem:
Masz dobrą intuicję, że można wyłączyć $3$ przed nawias. Pamiętaj, że dzielić możesz obie strony równania, ale nie wzór funkcji.
• Content: Wróć na poprzedni slajd.
  Next slide: Miejsce zerowe pochodnej, które należy do dziedziny funkcji to:
Zauważ, że ani $0$, ani $60$ nie należą do dziedziny rozważanej funkcji. Dziedzinę określaliśmy na początku naszej drogi. Zresztą, w każdej chwili możemy to sprawdzić – nie da się zbudować trójkąta o boku $0$, nie da się zbudować trójkąta z odcinków długości $30$, $30$, $60$.
• Content: Wróć
  Next slide: Miejsce zerowe pochodnej, które należy do dziedziny funkcji to:
Masz dobrą intuicję, że można wyłączyć $3$ przed nawias. Pamiętaj, że dzielić możesz obie strony równania a nie wzór funkcji.
• Content: Wróć na poprzedni slajd.
  Next slide: Bez straty ogólności możemy szukać wartości najmniejszej wyrażenia $f\left(a\right)=a^2\left(60-a\right)$. Jego pochodna wyraża się wzorem:

, $-1$, $-2$, , $-1,5$