Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Napisz program, który dla podanej funkcji oraz przedziału $[a, b]$ wykona n podziałów przedziału zgodnie z metodą bisekcji, a następnie wypisze wartość funkcji w osiągniętym punkcie lub komunikat Niespełnione założenia bisekcji, jeżeli badana funkcja nie spełnia warunku bisekcji w podanym przedziale.

Swój program przetestuj dla funkcji $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 4$ , a = 0.0, b = 10.0, n = 3. Przyjmij dokładność wynoszącą epsilon = 0.001.

Specyfikacja problemu:

Dane:

funkcja(x) – funkcja dla której należy wykonać metodę bisekcji
a – liczba rzeczywista, lewa granica przedziału poszukiwania miejsca zerowego funkcji
b – liczba rzeczywista, prawa granica przedziału poszukiwania miejsca zerowego funkcji
n – liczba naturalna dodatnia, liczba kroków, które należy wykonać
epsilon – pożądana dokładność wartości funkcji w punkcie

Wynik:

Program, na standardowe wyjście, wypisuje liczbę rzeczywistą, będącą wartością funkcji w punkcie wyznaczonym po wykonaniu n podziałów przedziału zgodnie z metodą bisekcji lub w razie potrzeby – komunikat Niespełnione założenia bisekcji.

R7V8huXRj8GlW

Przykładowe rozwiązanie zadania:

Linia 1. kratka include otwórz nawias ostrokątny iostream zamknij nawias ostrokątny. Linia 2. kratka include otwórz nawias ostrokątny cmath zamknij nawias ostrokątny. Linia 3. using namespace std średnik. Linia 5. double funkcja otwórz nawias okrągły double x zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 6. return x asterysk x asterysk x plus 2 asterysk x asterysk x minus 4 średnik. Linia 7. zamknij nawias klamrowy. Linia 9. double bisekcja otwórz nawias okrągły double a przecinek double b przecinek int n przecinek double epsilon zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 10. double fA znak równości funkcja otwórz nawias okrągły a zamknij nawias okrągły średnik. Linia 11. double fB znak równości funkcja otwórz nawias okrągły b zamknij nawias okrągły średnik. Linia 13. double dlugoscPrzedzialu znak równości b minus a średnik. Linia 14. int krok znak równości 0 średnik. Linia 16. prawy ukośnik prawy ukośnik Sprawdzenie przecinek czy miejsce zerowe jest w jednym z krańców przedziałów i warunku bisekcji. Linia 17. if otwórz nawias okrągły abs otwórz nawias okrągły fA zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny epsilon zamknij nawias okrągły. Linia 18. return a średnik. Linia 19. else if otwórz nawias okrągły abs otwórz nawias okrągły fB zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny epsilon zamknij nawias okrągły. Linia 20. return b średnik. Linia 21. else if otwórz nawias okrągły fA asterysk fB zamknij nawias ostrokątny 0 zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 22. cout otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny cudzysłów Niespelnione zalozenia bisekcji kropka cudzysłów otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny endl średnik. Linia 23. exit otwórz nawias okrągły minus 1 zamknij nawias okrągły średnik. Linia 24. zamknij nawias klamrowy. Linia 26. while otwórz nawias okrągły true zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 27. dlugoscPrzedzialu znak równości dlugoscPrzedzialu prawy ukośnik 2 kropka 0 średnik. Linia 28. krok plus znak równości 1 średnik. Linia 29. double x0 znak równości a plus dlugoscPrzedzialu średnik. Linia 30. double fx0 znak równości funkcja otwórz nawias okrągły x0 zamknij nawias okrągły średnik. Linia 32. if otwórz nawias okrągły krok znak równości znak równości n zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 33. return x0 średnik. Linia 34. zamknij nawias klamrowy. Linia 36. if otwórz nawias okrągły fx0 znak równości znak równości 0 kropka 0 zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 37. return x0 średnik. Linia 38. zamknij nawias klamrowy. Linia 39. else if otwórz nawias okrągły fx0 asterysk fA otwórz nawias ostrokątny 0 zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 40. b znak równości x0 średnik. Linia 41. fB znak równości fx0 średnik. Linia 42. zamknij nawias klamrowy. Linia 43. else otwórz nawias klamrowy. Linia 44. a znak równości x0 średnik. Linia 45. fA znak równości fx0 średnik. Linia 46. zamknij nawias klamrowy. Linia 47. zamknij nawias klamrowy. Linia 48. zamknij nawias klamrowy. Linia 50. int main otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 51. double a znak równości 0 kropka 0 średnik. Linia 52. double b znak równości 10 kropka 0 średnik. Linia 53. int n znak równości 3 średnik. Linia 54. double epsilon znak równości 0 kropka 001 średnik. Linia 56. cout otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny funkcja otwórz nawias okrągły bisekcja otwórz nawias okrągły a przecinek b przecinek n przecinek epsilon zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny endl średnik. Linia 58. return 0 średnik. Linia 59. zamknij nawias klamrowy.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x + 2 * x * x - 4;
}

double bisekcja(double a, double b, int n, double epsilon) {
	double fA = funkcja(a);
	double fB = funkcja(b);

	double dlugoscPrzedzialu = b - a;
	int krok = 0;

	// Sprawdzenie, czy miejsce zerowe jest w jednym z krańców przedziałów i warunku bisekcji
	if (abs(fA) < epsilon)
		return a;
	else if (abs(fB) < epsilon)
		return b;
	else if (fA * fB > 0) {
		cout << "Niespelnione zalozenia bisekcji." << endl;
		exit(-1);
	}

	while (true) {
		dlugoscPrzedzialu = dlugoscPrzedzialu / 2.0;
		krok += 1;
		double x0 = a + dlugoscPrzedzialu;
		double fx0 = funkcja(x0);

		if (krok == n) {
			return x0;
		}

		if (fx0 == 0.0) {
			return x0;
		}
		else if (fx0 * fA < 0) {
			b = x0;
			fB = fx0;
		}
		else {
			a = x0;
			fA = fx0;
		}
	}
}

int main() {
	double a = 0.0;
	double b = 10.0;
	int n = 3;
	double epsilon = 0.001;

	cout << funkcja(bisekcja(a, b, n, epsilon)) << endl;

	return 0;
}

Ćwiczenie 2

Napisz program, który dla podanej funkcji oraz przedziału $[a, b]$ wyświetli, w którym kroku algorytmu bisekcji długość przedziału poszukiwań lub wartość bezwzględna funkcji w środku przedziału poszukiwań będzie mniejsza od zadanej wartości epsilon. W przypadku istnienia miejsca zerowego na krańcu przedziału lub niespełnienia założeń bisekcji przyjmij, że liczba kroków wynosi 1.

Swój program przetestuj dla funkcji $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 4$ , a = 0.0, b = 10.0, epsilon = 0.0001.

Specyfikacja problemu:

Dane:

funkcja(x) – funkcja, dla której należy wykonać metodę bisekcji
a – liczba rzeczywista, lewa granica przedziału poszukiwania miejsca zerowego funkcji
b – liczba rzeczywista, prawa granica przedziału poszukiwania miejsca zerowego funkcji
epsilon – liczba rzeczywista dodatnia, określająca tolerancję, pożądaną dokładność wartości funkcji w punkcie

Wynik:

Program, na standardowe wyjście, wypisuje liczbę naturalną, będącą liczbą kroków metody bisekcji, które należy wykonać, aby długość przedziału poszukiwań lub wartość bezwzględna funkcji w środku przedziału poszukiwań była mniejsza od wartości epsilon.

RgGrm2cDLzPtJ

Przykładowe rozwiązanie zadania:

Linia 1. kratka include otwórz nawias ostrokątny iostream zamknij nawias ostrokątny. Linia 2. kratka include otwórz nawias ostrokątny cmath zamknij nawias ostrokątny. Linia 3. using namespace std średnik. Linia 5. double funkcja otwórz nawias okrągły double x zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 6. return x asterysk x asterysk x plus 2 asterysk x asterysk x minus 4 średnik. Linia 7. zamknij nawias klamrowy. Linia 9. int bisekcja otwórz nawias okrągły double a przecinek double b przecinek double epsilon zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 10. double fA znak równości funkcja otwórz nawias okrągły a zamknij nawias okrągły średnik. Linia 11. double fB znak równości funkcja otwórz nawias okrągły b zamknij nawias okrągły średnik. Linia 13. prawy ukośnik prawy ukośnik przyjęto założenie przecinek że jeżeli miejsce zerowe jest w jednym z krańców przedziału przecinek to jego sprawdzenie jest liczone jako 1 krok. Linia 14. prawy ukośnik prawy ukośnik tak samo traktowane jest spawdzenie warunku bisekcji minus w przypadku jego niespełnienia ta operacja jest traktowana jako 1 krok. Linia 16. if otwórz nawias okrągły fabs otwórz nawias okrągły fA zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny epsilon zamknij nawias okrągły. Linia 17. return 1 średnik. Linia 18. else if otwórz nawias okrągły fabs otwórz nawias okrągły fB zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny epsilon zamknij nawias okrągły. Linia 19. return 1 średnik. Linia 20. else if otwórz nawias okrągły fA asterysk fB zamknij nawias ostrokątny 0 zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 21. return 1 średnik. Linia 22. zamknij nawias klamrowy. Linia 24. double dlugoscPrzedzialu znak równości b minus a średnik. Linia 25. int krok znak równości 0 średnik. Linia 27. while otwórz nawias okrągły true zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 28. dlugoscPrzedzialu znak równości dlugoscPrzedzialu prawy ukośnik 2 kropka 0 średnik. Linia 29. krok plus znak równości 1 średnik. Linia 30. double x0 znak równości a plus dlugoscPrzedzialu średnik. Linia 31. double fx0 znak równości funkcja otwórz nawias okrągły x0 zamknij nawias okrągły średnik. Linia 33. if otwórz nawias okrągły fabs otwórz nawias okrągły dlugoscPrzedzialu zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny epsilon kreska pionowa kreska pionowa fabs otwórz nawias okrągły fx0 zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny epsilon zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 34. return krok średnik. Linia 35. zamknij nawias klamrowy. Linia 37. if otwórz nawias okrągły fx0 asterysk fA otwórz nawias ostrokątny 0 zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 38. b znak równości x0 średnik. Linia 39. fB znak równości fx0 średnik. Linia 40. zamknij nawias klamrowy. Linia 41. else otwórz nawias klamrowy. Linia 42. a znak równości x0 średnik. Linia 43. fA znak równości fx0 średnik. Linia 44. zamknij nawias klamrowy. Linia 45. zamknij nawias klamrowy. Linia 46. zamknij nawias klamrowy. Linia 48. int main otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 49. double a znak równości 0 kropka 0 średnik. Linia 50. double b znak równości 10 kropka 0 średnik. Linia 51. double epsilon znak równości 0 kropka 0001 średnik. Linia 53. cout otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny bisekcja otwórz nawias okrągły a przecinek b przecinek epsilon zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny endl średnik. Linia 55. return 0 średnik. Linia 56. zamknij nawias klamrowy.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x + 2 * x * x - 4;
}

int bisekcja(double a, double b, double epsilon) {
	double fA = funkcja(a);
	double fB = funkcja(b);

	// przyjęto założenie, że jeżeli miejsce zerowe jest w jednym z krańców przedziału, to jego sprawdzenie jest liczone jako 1 krok
	// tak samo traktowane jest spawdzenie warunku bisekcji - w przypadku jego niespełnienia ta operacja jest traktowana jako 1 krok 

	if (fabs(fA) < epsilon)
		return 1;
	else if (fabs(fB) < epsilon)
		return 1;
	else if (fA * fB > 0) {
		return 1;
	}
    
	double dlugoscPrzedzialu = b - a;
	int krok = 0;

	while (true) {
		dlugoscPrzedzialu = dlugoscPrzedzialu / 2.0;
		krok += 1;
		double x0 = a + dlugoscPrzedzialu;
		double fx0 = funkcja(x0);

		if (fabs(dlugoscPrzedzialu) < epsilon || fabs(fx0) < epsilon) {
			return krok;
		}

		if (fx0 * fA < 0) {
			b = x0;
			fB = fx0;
		}
		else {
			a = x0;
			fA = fx0;
		}
	}
}

int main() {
	double a = 0.0;
	double b = 10.0;
	double epsilon = 0.0001;

	cout << bisekcja(a, b, epsilon) << endl;

	return 0;
}

Ćwiczenie 3

Napisz program, który dla podanej funkcji oraz przedziału $[a, b]$ odnajdzie miejsce zerowe metodą bisekcji oraz wypisze rozwiązanie z dokładnością do czterech miejsc po przecinku, zaokrąglane w dół. Jeżeli miejsce zerowe badanej funkcji w podanym przedziale nie może zostać wyznaczone metodą bisekcji, wyświetl komunikat Niespełnione założenia bisekcji.

Swój program przetestuj dla funkcji $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 4$ , a = 0.0, b = 10.0. Przyjmij dokładność wynoszącą epsilon = 0.001.

Specyfikacja problemu:

Dane:

funkcja(x) – funkcja dla której należy wykonać metodę bisekcji
a – liczba rzeczywista, lewa granica przedziału poszukiwania miejsca zerowego funkcji
b – liczba rzeczywista, prawa granica przedziału poszukiwania miejsca zerowego funkcji
epsilon – pożądana dokładność wartości funkcji w punkcie

Wynik:

Program, na standardowe wyjście, wypisuje liczbę będącą miejscem zerowym funkcji w zadanym przedziale $[a, b]$ – z dokładnością do czterech miejsc po przecinku, zaokrąglane w dół lub w razie potrzeby – komunikat Wartość funkcji na końcach przedziału ma takie same znaki.

REX7EIUEQZxRv

Przykładowe rozwiązanie zadania:

Linia 1. kratka include otwórz nawias ostrokątny iostream zamknij nawias ostrokątny. Linia 2. kratka include otwórz nawias ostrokątny cmath zamknij nawias ostrokątny. Linia 3. using namespace std średnik. Linia 5. double funkcja otwórz nawias okrągły double x zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 6. return x asterysk x asterysk x plus 2 asterysk x asterysk x minus 4 średnik. Linia 7. zamknij nawias klamrowy. Linia 9. double bisekcja otwórz nawias okrągły double a przecinek double b przecinek double epsilon zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 10. double fA znak równości funkcja otwórz nawias okrągły a zamknij nawias okrągły średnik. Linia 11. double fB znak równości funkcja otwórz nawias okrągły b zamknij nawias okrągły średnik. Linia 13. prawy ukośnik prawy ukośnik Sprawdzenie przecinek czy miejsce zerowe jest w jednym z krańców przedziałów i warunku bisekcji. Linia 14. if otwórz nawias okrągły abs otwórz nawias okrągły fA zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny epsilon zamknij nawias okrągły. Linia 15. return a średnik. Linia 16. else if otwórz nawias okrągły abs otwórz nawias okrągły fB zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny epsilon zamknij nawias okrągły. Linia 17. return b średnik. Linia 18. else if otwórz nawias okrągły fA asterysk fB zamknij nawias ostrokątny 0 zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 19. cout otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny cudzysłów Wartość funkcji na końcach przedziału ma takie same znaki kropka cudzysłów otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny endl średnik. Linia 20. exit otwórz nawias okrągły minus 1 zamknij nawias okrągły średnik. Linia 21. zamknij nawias klamrowy. Linia 23. double dlugoscPrzedzialu znak równości b minus a średnik. Linia 25. while otwórz nawias okrągły true zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 26. dlugoscPrzedzialu znak równości dlugoscPrzedzialu prawy ukośnik 2 kropka 0 średnik. Linia 27. double x0 znak równości a plus dlugoscPrzedzialu średnik. Linia 28. double fx0 znak równości funkcja otwórz nawias okrągły x0 zamknij nawias okrągły średnik. Linia 30. if otwórz nawias okrągły dlugoscPrzedzialu otwórz nawias ostrokątny epsilon kreska pionowa kreska pionowa fabs otwórz nawias okrągły fx0 zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny epsilon zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 31. return x0 średnik. Linia 32. zamknij nawias klamrowy. Linia 34. if otwórz nawias okrągły fx0 asterysk fA otwórz nawias ostrokątny 0 zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 35. b znak równości x0 średnik. Linia 36. fB znak równości fx0 średnik. Linia 37. zamknij nawias klamrowy. Linia 38. else otwórz nawias klamrowy. Linia 39. a znak równości x0 średnik. Linia 40. fA znak równości fx0 średnik. Linia 41. zamknij nawias klamrowy. Linia 42. zamknij nawias klamrowy. Linia 43. zamknij nawias klamrowy. Linia 45. int main otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 46. double a znak równości 0 kropka 0 średnik. Linia 47. double b znak równości 10 kropka 0 średnik. Linia 48. double epsilon znak równości 0 kropka 001 średnik. Linia 50. cout otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny double otwórz nawias okrągły int otwórz nawias okrągły bisekcja otwórz nawias okrągły a przecinek b przecinek epsilon zamknij nawias okrągły asterysk 10000 zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły prawy ukośnik 10000 kropka 0 otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny endl średnik. Linia 52. return 0 średnik. Linia 53. zamknij nawias klamrowy.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x + 2 * x * x - 4;
}

double bisekcja(double a, double b, double epsilon) {
	double fA = funkcja(a);
	double fB = funkcja(b);

	// Sprawdzenie, czy miejsce zerowe jest w jednym z krańców przedziałów i warunku bisekcji
	if (abs(fA) < epsilon)
		return a;
	else if (abs(fB) < epsilon)
		return b;
	else if (fA * fB > 0) {
		cout << "Wartość funkcji na końcach przedziału ma takie same znaki." << endl;
		exit(-1);
	}

	double dlugoscPrzedzialu = b - a;

	while (true) {
		dlugoscPrzedzialu = dlugoscPrzedzialu / 2.0;
		double x0 = a + dlugoscPrzedzialu;
		double fx0 = funkcja(x0);

		if (dlugoscPrzedzialu < epsilon || fabs(fx0) < epsilon) {
			return x0;
		}

		if (fx0 * fA < 0) {
			b = x0;
			fB = fx0;
		}
		else {
			a = x0;
			fA = fx0;
		}
	}
}

int main() {
	double a = 0.0;
	double b = 10.0;
    double epsilon = 0.001;
    
	cout << double(int(bisekcja(a, b, epsilon) * 10000)) / 10000.0 << endl;

	return 0;
}

Przeczytaj

Dla nauczyciela